Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(c) lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x + 5 y x - y 2 + z

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que verificar se o limite da função f x , y , z = x + 5 y x - y 2 + z para x , y , z → 0,0 , 0 existe ou não.

Parece muito dificil? 👀

O limite de uma função resulta no valor que a função tende a assumir quando x , y tende a um ponto...

Nesse caso podemos usar o método de aproximação por meio de curvas que passam no ponto que estamos interessados.

Ou seja, dessa forma, definimos y em função de x ou x em função de y e substituímos no limite. Dessa forma um problema tridimensional se torna bidimensional, que é muito mais fácil de trabalhar...

Sacou? Vamo lá! 👀

Passo 2

Vamos começar nos aproximando pela reta x = y ...

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x + 5 y x - y 2 + z → lim x , z → 0,0 , 0 ⁡ x + 5 x x - x 2 + z

lim x , z → 0,0 , 0 ⁡ 6 x x - x 2 + z

Dividindo em cima e em baixo por x , vamos obter

lim x , z → 0,0 , 0 ⁡ 6 x x x - x 2 + z x

lim x , z → 0,0 , 0 ⁡ 6 1 - x + z x

Fazendo x tender a 0 vemos que a fração z x vai tender a e consequentemente vamos obter

lim x , z → 0,0 , 0 ⁡ 6 1 - x + z x = 6 ∞ = 0

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Agora vamos nos aproximar pela reta y = 0

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x + 5 y x - y 2 + z → lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x + 5 0 x - 0 2 + z

lim x , z → 0,0 ⁡ x x + z

A partir desse novo limite vamos fazer uma nova aproximação pela reta z = 0

lim x → 0 ⁡ x x = 1

Dessa forma, como encontramos dois valores distintos para aproximações diferentes podemos afirmar que o limite de f x , y , z não existe.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Não existe

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Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
Calcular os limites seguintes:h) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) ln [(x y - 1)/(2 x y + 4)]
Calcular os seguintes limites de funções compostas:b) lim x → + ∞ y → + ∞ ⁡ e 1 x + y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1
Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:f) lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x