Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule os limites abaixo.

h) lim x ,  y → 1 ,   1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função de duas variáveis, f x ,   y = x y 3 - 1 x y - 1 , quando ( x ,   y ) tende a ( 1 ,   1 ) .

A primeira coisa que nós podemos fazer é verificar se existe alguma indeterminação quando aplicamos o ponto para o qual tende a função. Se isso não ocorrer, podemos aplicar o limite diretamente. Se houver alguma indeterminação, vamos buscar alguma alternativa algébrica pra fugir dela.

Vamos lá!

Passo 2

Para o limite:

lim x ,  y → 1 ,   1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1

Aplicando x = 0 e y = 0 , na função temos:

= 1 ∙ 1 3 - 1 1 ∙ 1 - 1 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação. Para fugir dela vamos chamar x y = t . Assim, temos:

lim x ,  y → 1 ,   1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1 = lim t → 1 ⁡ t 3 - 1 t - 1

Aplicando a Regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente), vamos obter:

lim t → 1 ⁡ 1 3 t 2 3 1 2 t = lim t → 1 ⁡ 2 t 3 t 2 3

Assim, quando t → 1 , temos:

= 2 1 3 1 2 3

= 2 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 3

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1
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