Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule os limites abaixo.

f) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x + 3 - 3 x y + x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função de duas variáveis, f x ,   y = x + 3 - 3 x y + x , quando ( x ,   y ) tende a ( 0 ,   0 ) .

A primeira coisa que nós podemos fazer é verificar se existe alguma indeterminação quando aplicamos o ponto para o qual tende a função. Se isso não ocorrer, podemos aplicar o limite diretamente. Se houver alguma indeterminação, vamos buscar alguma alternativa algébrica pra fugir dela.

Vamos lá!

Passo 2

Para o limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x + 3 - 3 x y + x

Aplicando x = 0 e y = 0 , na função temos:

= 0 + 3 - 3 0 ∙ 0 + 0 = 3 - 3 0 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação. Para fugir dela vamos multiplicar o numerador pelo seu conjugado, x + 3 + 3 x + 3 + 3 :

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x + 3 - 3 ∙ x + 3 + 3 x + 3 + 3 x y + x = lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x x + 3 + 3 x y + x

Fazendo a divisão de frações:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x x + 3 + 3 ∙ 1 x y + x

Simplificando:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x x + 3 + 3 x ( y + 1 ) = lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ 1 x + 3 + 3 ( y + 1 )

Agora saímos da indeterminação, então podemos aplicar o limite:

1 0 + 3 + 3 ( 0 + 1 ) = 1 3 + 3 ( 1 )

= 1 2 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 3

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