Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Determine o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2

Passo 1

Se tentarmos a simples substituição, vamos chegar na indeterminação

lim x , y → 0,0 ⁡ e - 0 2 - 0 2 - 1 0 2 + 0 2 = 0 0

Precisamos de uma forma de sair dessa indeterminação.

Passo 2

Podemos reescrever a expressão desse limite colocando o sinal de menos em evidencia no expoente da exponencial e ficamos com

e - ( x 2 + y 2 ) - 1 x 2 + y 2

E agora, repare, temos a expressão x 2 + y 2 se repetindo no numerador e no denominador.

Vamos tentar fazer uma mudança de variável então.

Vamos chamar

u = x 2 + y 2

E, quando x , y → ( 0,0 ) , temos

u → 0 2 + 0 2 = 0

Nesse caso, ficamos com

lim u → 0 ⁡ e - u - 1 u

Passo 3

Agora, temos um limite de uma variável só, a variável u . E, portanto, podemos usar L’Hospital para nos salvar!!

Aplicando essa regra maravilhosa, teremos

lim u → 0 ⁡ - e - u 1

E esse limite vale

lim u → 0 ⁡ - e - u 1 = - e 0 = - 1

Assim, temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = - 1

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ e x y - e y + 1
Calcular os limites seguintes:h) lim x → 1 y → 2 ⁡ ln ⁡ x y - 1 2 x y + 4
Calcular os seguintes limites de funções compostas:b) lim x → + ∞ y → + ∞ ⁡ e 1 x + y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1
Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:f) lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x