Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 944 – 21

Calcule o limite, se existir, convertendo para coordenadas polares.

lim x , y 0,0 y ln x 2 + y 2

Passo 1

Lembrando, as coordenadas polares são:

x = r cos t   y = r sen t

E assim temos

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 t + sen 2 t = r 2

Então, com as coordenadas polares, nossa expressão dentro do limite vai ser:

r sen ( t ) ln r 2

E como ln r 2 = 2 ln r isso dá:

2 r sen t ln ( r )

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Passo 2

Estamos calculando o limite nos aproximado da origem, fazendo x , y 0 ,   0 . E o r das coordenadas polares é justamente a distância à origem. Logo,

x , y 0,0 r 0

E como temos um logaritmo, cujo argumento deve ser positivo, vamos nos aproximar de zero só pela direita:

r 0 +

Então, nosso limite é:

lim r 0 + 2 r sen t ln r

Passo 3

Pra gente não se confundir, vamos começar ignorando esse sen t e calcular o limite

lim r 0 + 2 r ln r

Temos uma indeterminação do tipo “ 0 × - ”. Vamos botá-la de uma forma que a gente possa usar l’Hôpital:

lim r 0 + 2 r ln r = 2 lim r 0 +   ln r 1 r

Pronto, agora ficou melhor!

Passo 4

Pela regra de l’Hôpital, temos

lim r 0 +   ln r 1 r = lim r 0 +   - 1 r 1 r 2 = lim r 0 + - r 2 r = lim r 0 + - r = 0

Beleza, deu zero. Então

lim r 0 + 2 r ln r = 0

também.

Passo 5

Voltando pro nosso limite com o seno:

lim r 0 + 2 r ln r sen t = 0 0 = 0

Resposta

0

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