Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule o limite, se existir, convertendo para coordenadas polares.

lim x , y → 0,0 ⁡ y ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Lembrando, as coordenadas polares são:

x = r cos ⁡ t   y = r sen ⁡ t

E assim temos

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = r 2

Então, com as coordenadas polares, nossa expressão dentro do limite vai ser:

r sen ⁡ ( t ) ln ⁡ r 2

E como ln ⁡ r 2 = 2 ln ⁡ r isso dá:

2 r sen ⁡ t ln ⁡ ( r )

Passo 2

Estamos calculando o limite nos aproximado da origem, fazendo x , y → 0 ,   0 . E o r das coordenadas polares é justamente a distância à origem. Logo,

x , y → 0,0 ⇒ r → 0

E como temos um logaritmo, cujo argumento deve ser positivo, vamos nos aproximar de zero só pela direita:

r → 0 +

Então, nosso limite é:

lim r → 0 + ⁡ 2 r sen ⁡ t ln ⁡ r

Passo 3

Pra gente não se confundir, vamos começar ignorando esse sen ⁡ t e calcular o limite

lim r → 0 + ⁡ 2 r ln ⁡ r

Temos uma indeterminação do tipo “ 0 × - ∞ ”. Vamos botá-la de uma forma que a gente possa usar l’Hôpital:

lim r → 0 + ⁡ 2 r ln ⁡ r = 2 lim r → 0 +   ⁡ ln ⁡ r 1 r

Pronto, agora ficou melhor!

Passo 4

Pela regra de l’Hôpital, temos

lim r → 0 +   ⁡ ln ⁡ r 1 r = lim r → 0 +   ⁡ - 1 r 1 r 2 = lim r → 0 + ⁡ - r 2 r = lim r → 0 + ⁡ - r = 0

Beleza, deu zero. Então

lim r → 0 + ⁡ 2 r ln ⁡ r = 0

também.

Passo 5

Voltando pro nosso limite com o seno:

lim r → 0 + ⁡ 2 r ln ⁡ r sen ⁡ t = 0 0 = 0

Resposta

0

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