Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

USP, P1 2012 A, questão 3b

Calcule ou mostre que o limite l i m x , y 0,0 e x 2 y - 1 y 3   não existe.

Passo 1

Bom, essa aí não parece ter nada de muito particular... sem seno, sem cosseno, sem variável pra ensanduichar... Aí não temos nada a perder tentando caminhos aleatórios!

Não é boa ideia tentar caminhos por onde y = 0 de cara, porque ele está sozinho no denominador... Então, podemos tentar o caminho x , y = 0 , y , em que x = 0 :

l i m x , y 0,0 e 0 2 y - 1 y 3 =

l i m x , y 0,0 1 - 1 y 3 = 0

Opa! O limite deu 0 :D Antes encontrar algum valor do perder tempo com um caminho escolhido errado XD

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Passo 2

Agora, devemos escolher outro caminho. Como não podemos zerar o y , por que não escolher outro valor constante pra ele? Por exemplo, o caminho x , y = x , 1 :

l i m x , y 0,0 e x 2 . 1 - 1 1 3 =

l i m x , y 0,0 e x 2 - 1 1 3

Como x 0 , então fica 1 - 1 no denominador e o limite da 0 de novo. Tá, essa não ajudou muito hahaha temos que tentar encontrar um limite diferente desse, para provar que ele não existe! E a aflição é que nem sabemos se ele não existe... vai que ele é 0 mesmo? É chato pra cacete né?

Passo 3

Olha, não consigo pensar em mais nada... Não tive nenhuma sacada com esse e desgraçado XD Vamos partir para o teorema do sanduíche? Se fizermos com que o grau da variável a qual e está elevado ser igual ao do denominador, teremos como usar o teorema, seja para ensanduichar a função, seja para provar que existe uma que vai pra infinito e que seja menor que a nossa. Se colocarmos x = y , teremos o seguinte:

e x 3 - 1 x 3

E agora? Po, exatamente porque temos x 3 sendo a única parte variável, podemos substituí-la n , por exemplo, e fica um limite simples de uma variável, que poderemos usar L’Hospital!

l i m n 0 e n - 1 n =

Derivando em cima e embaixo, por L’Hospital

l i m n 0 e n 1 = 1

E encontramos um valor diferente para o limite! Como a função não pode ter limite igual a 0 e igual 1 para um mesmo ponto, então a função não tem limite, exatamente como a zoeira XD

Resposta

O limite não existe!

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