Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2010, Questão 2a

O limite a seguir existe? Se sim, igual a quanto?

l i m x , y 0,0 x 3 1 - cos x 2 + y 2 x 2 + y 2 3  

Passo 1

Vamos lá, temos um limite com função trigonométrica: isso é um prenúncio de que usaremos o teorema do sanduíche! Vamos separar essa fração para poder usar o teorema?

l i m x , y 0,0 x 3 1 - cos x 2 + y 2 x 2 + y 2 3   =

l i m x , y 0,0 x 3 x 2 + y 2 3   . 1 - cos x 2 + y 2

Show, já está melhorando. Se um dos limites for 0 e o outro existir, então o limite total vai pra zero!

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Passo 2

Agora, vem uma artimanha que você certamente vai querer ter no sangue: podemos separar a fração

x 3 x 2 + y 2 3  

Em

x 2 x 2 + y 2   . x x 2 + y 2 2

E isso fará o limite ficar assim:

l i m x , y 0,0 x . x 2 x 2 + y 2   . 1 - cos x 2 + y 2 x 2 + y 2 2  

Ok, aí você vira para mim e fala: onde isso nos levou? Isso fez aparecer uma espécie de “limite notável”, que é o:

x 2 x 2 + y 2  

E o que ele tem de tão legal? Olha o que acontece quando aplicamos o teorema do sanduíche nele:

0 x 2 x 2 + y 2

Certo? Qualquer número ao quadrado, x 2 , é maior do que 0 . Por sua vez, x 2 é menor do que ele mesmo somado a um outro número ao quadrado qualquer, y 2 .

Dividindo tudo por x 2 + y 2 , temos:

0 x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

0 x 2 x 2 + y 2 1

E aí está! Chegamos a conclusão de que essa fração é sempre limitada entre 0 e 1 !

Assim, tenha sempre em mente: Se tiver qualquer coisa que possa ser transformada em algo desse molde, tente fazê-la aparecer na equação! Pode ser x 4 x 4 + y 2 , y 2 x 4 + y 2 ,   x 6 x 6 + y 10 , sacou? Pode ser qualquer coisa que tenha uma variável igual em cima e embaixo, sempre com soma no denominador e expoentes pares! Aí você prova exatamente como fizemos com o teorema do sanduíche aí em cima ;)

Passo 3

Prosseguindo, temos:

l i m x , y 0,0 x . x 2 x 2 + y 2   . 1 - cos x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Como sabemos que l i m x , y 0,0 x = 0 e que a fração do meio é limitada, o que temos na realidade é:

l i m x , y 0,0 0 . ( l i m i t a d a ) . 1 - cos x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

E, assim, o que temos que ver é o limite de:

l i m x , y 0,0 1 - cos x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Podemos fazer a substituição x 2 + y 2 = t , e fica:

l i m t 0 1 - cos t t 2

E, agora, podemos aplicar L’Hospital:

l i m t 0 sin t 2 t =

l i m t 0 1 2 sin t t  

Como o limite de sin t t quando t 0 é sempre 1 , então temos:

l i m t 0 1 2 sin t t = 1 2  

E, assim, o limite, enfim, fica:

l i m x , y 0,0 0 . l i m i t a d a . 1 2 = 0

Ou seja, o limite existe e é igual a 0 , pois dois dos limites existem e são iguais a 0 , e multiplicam um termo que é limitado :D

Resposta

O limite existe e é igual a 0 .

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