Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

Ver Teoria

Enunciado

3. Dada a função f ( x ) = 2 ⋅ c o s ( x ) - x 4 :

a) Aplique o método de Newton para encontrar um valor aproximado da raiz de f ( x ) . Para cada iteração, apresente os valores de x i e f ( x i ) . Considere x 0 = 1,0 , utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão. Utilize como critério de parada 3 iterações ( i = 0,1 , 2,3 ) ou | x i + 1 - x i | < 0,0010 .

b) Complemente a implementação do código abaixo para encontrar o zero da função f ( x ) pelo método da Falsa Corda utilizando 50 iterações como critério de parada. Considere o intervalo de separação I = [ 1 ; 1.1 ] . OBS: Em C, a equação f ( x ) pode ser escrita como 2 ⋅ c o s ( x ) - p o w f ( x , 4 ) .

Passo 1

Opaa pessoal, tudo bem? Vamos então lembrar do método de Newton! Basicamente é mais um método que parte de um valor inicial e, por meio de várias iterações, chega em uma solução ao atingir o critério de parada! Neste caso, a cada interação devemos calcular o f ( x i ) , o f ' ( x i ) e o valor seguinte, isto é, x i + 1 = x i - f ( x i ) f ' ( x i ) .

Bora começar pela derivada? Bem simples, olha lá:

f ' ( x ) = [ 2 ⋅ c o s ( x ) - x 4 ] ' =   - 2 ⋅ s e n ( x ) - 4 ⋅ x 3

Passo 2

Em seguida, vamos para as iterações:

Iteração 0: x 0 = 1  

f ( x 0 ) = 2 ⋅ c o s ( 1 ) - 1 4 = 0.0806

f ' ( x 0 ) =   - 2 ⋅ s e n ( 1 ) - 4 ⋅ 1 3 =   - 5.6829

Iteração 1: x 1 = 1 - 0.0806 - 5.6829 = 1.0142

  f ( x 1 ) = 2 ⋅ c o s ( 1.0142 ) - 1.0142 4 =   - 0.0014

f ' ( x 1 ) =   - 2 ⋅ s e n ( 1.0142 ) - 4 ⋅ 1.0142 3 =   - 5.8709

Iteração 2: x 2 = 1.0142 - - 0.0014 - 5.8709 = 1.0140

f ( x 2 ) = 2 ⋅ c o s ( 1.0140 ) - 1.0140 4 =   - 0.0002

Mas olha só: | x 2 - x 1 | = | 1.0140 - 1.0142 | = 0.0002 < 0,0010 . Como atingimos um critério de parada, podemos interromper as iterações e afirmar que x = 1.0140 é uma aproximação de raiz de f ( x ) ! Fácil, né?

Passo 3

O método da Falsa Corda é outro método iterativo para encontrar a raiz de uma função! Mas dessa vez queremos fazer 50 iterações, galera. Fica puxado fazer a mão, então um código é o melhor caminho!

Nesse caso, temos um intervalo [a,b] que contém a raiz da função e vamos aproximá-la fazendo:

x = a × f ( b ) - b × f ( a ) f ( b ) - f ( a )

Depois de obter o x , calculamos f ( x ) e verificamos se f ( x ) × f ( a ) < 0 ou se f ( x ) × f ( b ) < 0 . Mas pra que isso? Bom galera, existe um cara chamado Bolzano que enunciou o seguinte teorema: um intervalo [ x 1 , x 2 ] contém a raiz de uma função g ( x ) se g ( x 1 ) × g ( x 2 ) < 0 .

Logo, a cada iteração descobrimos um valor mais próximo da nossa raiz e reduzimos o intervalo de entrada! Vamos ficar com um código assim:

Primeiro fazemos usamos a estrutura de repetição for para percorrer as 50 iterações, uma por uma. Em seguida, calculamos os valores de f ( a ) , f ( b ) , a aproximação x da raiz e f ( x ) . Também imprimimos algumas informações importantes: o número da iteração, o intervalo [a,b] atual, e os valores que acabamos de calcular nas linhas anteriores!

No final, damos aquela conferida que eu comentei agora pouco para reduzir o intervalo de entrada! Usando um condicional if/else, definimos se o próximo intervalo de entrada será [a,b=x] ou [a=x,b].

Ao fim das 50 iterações, imprimos o último valor aproximado de x ! Moleza!

Resposta

a) Utilizando o critério de parada | x 2 - x 1 | < 0,0010 , obtemos que x = 1.0140 é um valor aproximado da raiz de f ( x ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.
Os gráficos de y= x e y=3-x 2 se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Explique por que as quatro questões seguintes pedem a mesma informação: Determine as raízes de f ( x )=x 3-3 x-1 . Determine as abscissas da interseção da curva y=x 3 com a reta y=3 x+1 . Determine as