Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

Lista UNIVAP – Zeros de Função – Adaptada

Uma pessoa tomou um empréstimo de A reais, que acrescenta os juros no total antes de computar o pagamento mensal. Assim, se a taxa mensal de juros, em porcentagem, é q e o empréstimo é pelo prazo de n meses, a quantia total que o tomador concorda em pagar é:

C = A + A . n . q 100

Isto é dividido por n para dar o total de cada pagamento P , ou seja,

P = C n = A 1 n + q 100

Isto é perfeitamente legal e muito usado em lojas de departamento. (É chamado o empréstimo com acréscimo). Mas a verdadeira taxa de juros que o tomador está pagando é alguma coisa além de q % , porque ele não conserva o total do empréstimo por todos os n meses: Ele está pagando-o de volta com o decorrer do tempo. A verdadeira taxa de juros pode ser encontrada pela determinação de uma raiz x da equação:

F x = A x - P 1 + x n + P = 0

Isto fornece a taxa de juros por período de pagamento, que pode ser convertida em taxa anual multiplicando-se a mesma por 12. Seja A = R $ 1000 , n = 24 e q = 5 % . Determine a verdadeira taxa de juros com precisão de 10 - 7 .

Passo 1

Cacetada! Isso aí ta parecendo questão do ENEM, olha esse testamento. E como toda questão do ENEM só o que interessa é o último parágrafo haha.

Vamos substituir os valores da equação e achar essa bendita raiz.

P = 1000 1 24 + 5 100 = 91.666 …

F x = 1000 x - 91.666667 1 + x 24 + 91.666667

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Passo 2

Vamos encontrar o intervalo que contém a raiz agora. Como estamos falando de juros vamos tentar valores baixos:

F 0.01 = - 12.0283

F 0.03 = - 33.689

F 0.05 = - 42.7125

F 0.07 = - 18.2346

F 0.09 = 78.4815

Beleza, temos uma raiz no intervalo 0.07,0.09 .

Passo 3

Cálculos Iniciais

f x = 1000 x - 91.666667 1 + x 24 + 91.666667

f ' x = 25000 x - 0.048 x + 1 23

g x = x - f x f ' x

x 0 = 0.07

ε = 10 - 7

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.0769937

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.0069937 > 10 - 7

f x 1 = 4.64371454 > 10 - 7

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.0769937

ε = 10 - 7

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.07583033

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.00116337 > 10 - 7

f x 2 = 0.14886669 > 10 - 7

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.07583033

ε = 10 - 7

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.0757905

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 3.983 ∙ 10 - 5 > 10 - 7

f x 3 = 0.00016984 > 10 - 7

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 0.0757905

ε = 10 - 7

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 0.07579045

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 4.6 ∙ 10 - 8 < 10 - 7

f x 4 = 2.2 ∙ 10 - 10 < 10 - 7

Pronto, achamos nossa taxa de juros verdadeira. x - = 0.07579045 .

Resposta

x - = 0.07579045

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