Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Enunciado

4. Seja a o número de letras do seu primeiro nome, e sejam b = a + 1 e c = a + 2 .

(a) construa um polinômio de grau 3 que tenha exatamente como raízes os números a , b e c ;

(b) escolha entre a , b e c e mostre (através de cálculos) que o número escolhido trata-se, de fato, de uma raiz do polinômio;

(c) escreva a fórmula de iteração do método de Newton para encontrar raízes desse polinômio;

(d) escolha uma aproximação inicial x 0 e realize uma iteração do método de Newton para encontrar uma aproximação para a raiz escolhida. Apresente todo o desenvolvimento da questão.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que criar um polinômio de terceiro grau que tem como raízes a , b e c em que a é o número de letras do seu nome, b = a + 1 e c = a + 2 .

Depois de obtido o polinômio vamos provar que a , b ou c é raiz do nosso polinômio substituindo na função e pelo método de Newton.

Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔

Para obter um polinômio de terceiro grau f x genérico a partir das suas raízes, fazemos

f x = x - x 0 x - x 1 x - x 2

Em que x 0 , x 1 e x 2 são suas raízes, ou seja, a , b e c .

Já pra obter o zero de uma função usando o método de Newton, fazemos ϕ x = x - f x f ' x para um x 0 inicial arbitrário.

Entendeu? Podemos começar!

Passo 2

Vamos iniciar definindo a , b e c !

Resolvendo o item a), se meu nome é Thor, meu nome tem 4 letras, logo a = 4 . Consequentemente, se b = a + 1 e c = a + 2 ...

a = 4 b = 5 c = 6

Substituindo a , b e c em x 0 , x 1 e x 2 em f x que definimos anteriormente, vamos obter

f x = x - x 0 x - x 1 x - x 2

f x = x - 4 x - 5 x - 6

f x = x 2 - 9 x + 20 x - 6

Portanto, nossa função f x é dada por

f x = x 3 - 15 x 2 + 74 x - 120

Já no item b), temos que provar que uma das raízes que definimos é realmente raiz.

Pra isso vamos substituir x = b em f x

f 5 = 5 3 - 15 5 2 + 74 5 - 120

f 5 = 125 - 375 + 370 - 120

f 5 = 0

Logo b realmente é uma raiz já que a função zera nesse valor.

Foi tranquilo? 😁

Passo 3

No item c) vamos montar a fórmula de iteração para o método de Newton.

No passo 1, vimos que a fórmula de iteração é dada por

ϕ x = x - f x f ' x

Assim, se f x = x 3 - 15 x 2 + 74 x - 120 , derivando pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 3 x 3 - 1 - 2 · 15 x 2 - 1 + 74 x 1 - 1 - 120 · 0

f ' x = 3 x 2 - 30 x + 74

Substituindo f x e f ' x em ϕ x

ϕ x = x - x 3 - 15 x 2 + 74 x - 120 3 x 2 - 30 x + 74

Para o item d), com a fórmula de iteração obtida, vamos começar por x 0 = 2 .

Substituindo x por 2 em ϕ x ...

ϕ 2 = 2 - 2 3 - 15 2 2 + 74 2 - 120 3 2 2 - 30 2 + 74 = 2 - - 12 13

ϕ 2 = 2,9231

Calculando f 2,9231 , temos

f 2,9231 = 2,9231 3 - 15 2,9231 2 + 74 2,9231 - 120

f 2,9231 = - 6,8821

Entendeu como é? 😉

Passo 4

Não chegamos em um valor tão próximo quanto queremos, então vamos continuar.

Agora usamos x = 2,9231 .

ϕ 2,9231 = 2,9231 - 2,9231 3 - 15 2,9231 2 + 74 2,9231 - 120 3 2,9231 2 - 30 2,9231 + 74 = 3,4994

Substituindo x por 3 , 4994 em f x ...

f 3,4994   = 3,4994   3 - 15 3,4994   2 + 74 3,4994   - 120

f 3,4994   = - 1,8783

Continuando agora usando x = 3,4994

ϕ 3,4994 = 3,4994 - 3,4994 3 - 15 3,4994 2 + 74 3,4994 - 120 3 3,4994 2 - 30 3,4994 + 74 = 3,8258

Substituindo x por 3 , 8258 em f x ...

f 3 , 8258   = 3 , 8258   3 - 15 3 , 8258   2 + 74 3 , 8258   - 120

f 3,8258   = - 0,4447

Ainda não está tão baixo, então agora usamos x = 3 , 8258

ϕ 3 , 8258 = 3 , 8258 - 3 , 8258 3 - 15 3 , 8258 2 + 74 3 , 8258 - 120 3 3 , 8258 2 - 30 3 , 8258 + 74 = 3,9676

Calculando f 3 , 9676 , temos

f 3 , 9676   = 3 , 9676   3 - 15 3 , 9676   2 + 74 3 , 9676   - 120

f 3,9676   = - 0,0680

Está entendendo os passos? 👀

Passo 5

Vamos usar uma aproximação maior, então vamos substituir x = 3 , 9676

ϕ 3 , 9676 = 3 , 9676 - 3 , 9676 3 - 15 3 , 9676 2 + 74 3 , 9676 - 120 3 3 , 9676 2 - 30 3 , 9676 + 74 = 3,9985

Então f 3 , 9985 será

f 3 , 9985   = 3 , 9985   3 - 15 3 , 9985   2 + 74 3 , 9985   - 120

f 3,9985   = - 0,0029

Fazendo a última iteração, temos

ϕ 3 , 9985 = 3 , 9985 - 3 , 9985 3 - 15 3 , 9985 2 + 74 3 , 9985 - 120 3 3 , 9985 2 - 30 3 , 9985 + 74 = 4,0000

Portanto...

f 4,0000   = 4,0000   3 - 15 4,0000   2 + 74 4,0000   - 120

f 4,0000   = 0

Assim provamos também que 4 é uma raiz pelo método de Newton!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a) a = 4 b = 5 c = 6

b) f 5 = 0

c) ϕ x = x - x 3 - 15 x 2 + 74 x - 120 3 x 2 - 30 x + 74

d) f 4,0000   = 0

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Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
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