Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Enunciado

2)

a) Mostre que a função g x = x 2 + e - x tem um único ponto de mínimo positivo.

b) Calcule uma aproximação para este ponto utilizando o método de Newton (calcule 3 iterações a partir de x 0 = 1 . Mostre que o método de Newton é convergente para esta escolha de x 0 )

Passo 1

Falaaa...

Nessa questão vamos calcular uma aproximação, usando o método de Newton, para o ponto de mínimo que mostramos que existe no item (a) partindo de x 0 = 1 .

Lembrando que para o método de Newton:

x k + 1 = x k - f x k f ' x k

E pra mostrar que o método de Newton é convergente a função, a primeira e a segunda derivadas devem ser contínuas. E que a primeira derivada é diferente de zero no intervalo.

Passo 2

Vamos lá, então... Mas lembra que queremos achar o zero é da derivada de g ( x ) , ok?

f x = g ' x = 2 x - e - x

Calculando a derivada pra gente usar no método de Newton:

f ' x = 2 + e - x

Para a primeira iteração:

x 1 = x 0 - f x 0 f ' x 0

= 1 - 2 1 - e - 1 2 + e - 1

= 0,3107

Passo 3

Para a segunda iteração:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

= 0,3107 - 2 0,3107 - e - 0,3107 2 + e - 0,3107

= 0,3515

Pra terceira iteração:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

= 0,3515 - 2 0,3515 - e - 0,3515 2 + e - 0,3515

= 0,3517

Passo 4

Para verificar a convergência do método, temos:

f x = 2 x - e - x

f ' x = 2 + e - x

f ' ' x = - e - x

São todas contínuas.

E se analisarmos f ' x , ela é sempre positiva, pra qualquer x , então é sempre diferente de zero.

Então podemos concluir que o método é convergente.

Resposta

x 3 = 0,3517

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