Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Enunciado

4) Determine A 1 ,     A 2 ,     A 3 e A 4 tal que p 2,5 = A 1 p 0 + A 2 p 1 + A 3 p 2 + A 4 p ( 3 ) qualquer que seja o polinômio p de grau menor ou igual a 3. Seja f x = cos ⁡ x π e use a expressão f 2,5 = A 1 f 0 + A 2 f 1 + A 3 f 2 + A 4 f 3 para estimar f 2,5 e delimite o erro cometido, de acordo com a estimativa de erro. Use o valor exato de f 2,5 apenas para confirmar sua delimitação de erro.

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos determinar os coeficientes do polinômio p dado no enunciado.

Pra isso vamos usar o polinômio de Lagrange:

p x = L 0 p x 0 + L 1 p x 1 + L 2 p x 2 + L 3 p x 3

Onde:

L i x = x - x 0 x - x 1 … ( x - x i + 1 ) x i - x 0 x i - x 1 … ( x i - x i + 1 )

Passo 2

Na nossa questão temos p 2,5 = A 1 p 0 + A 2 p 1 + A 3 p 2 + A 4 p ( 3 ) .

Então repara que os A ' s são os L ' s de Lagrange.

Temos que x 0 = 0 , x 1 = 1 , x 2 = 2 e x 3 = 3 . Também temos x = 2,5 .

- Para o A 1 :

A 1 = L 0

A 1 = 2,5 - 1 ( 2,5 - 2 ) ( 2,5 - 3 ) 0 - 1 ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 )

A 1 = 0,065

- Para o A 2 :

A 2 = L 1

A 2 = 2,5 - 0 ( 2,5 - 2 ) ( 2,5 - 3 ) 1 - 0 ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 )

A 2 = - 0,3125

Passo 3

- Para o A 3 :

A 3 = L 2

A 3 = 2,5 - 0 ( 2,5 - 1 ) ( 2,5 - 3 ) 2 - 0 ( 2 - 1 ) ( 2 - 3 )

A 3 = 0,9375

- Para o A 4 :

A 4 = L 3

A 4 = 2,5 - 0 ( 2,5 - 1 ) ( 2,5 - 2 ) 3 - 0 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 )

A 3 = 0,3125

Passo 4

Agora vamos calcular:

f 2,5 = A 1 f 0 + A 2 f 1 + A 3 f 2 + A 4 f 3

f 2,5 = 0,065 cos ⁡ 1 π + ( - 0,3125 ) cos ⁡ 2 π + ( 0,9375 ) cos ⁡ 3 π + ( 0,3125 ) cos ⁡ 4 π

f 2,5 = 0,4436

Pra calcular a estimativa do erro:

E r r o = f 4 y x 4 ! 2,5 - 0 2,5 - 1 2,5 - 2 2,5 - 3

= max ⁡ cos ⁡ y x π 24 π 4 ( 2,5 ) ( 1,5 ) ( 0,5 ) ( - 0,5 )

E como o máximo de cos é 1:

E r r o = 2,5 1,5 0,5 0,5 24 π 4

= 4,01 × 10 - 4

Resposta

Resposta nos passos

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