Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Enunciado

3. Dada a função f ( x ) = x 4 + x - 4 :

a) Aplique o método de Newton para encontrar um valor aproximado da raiz de f(x). Para cada iteração, apresente os valores de x i e f ( x i ) . Considere x 0 = 1,5 = e utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão. Utilize como critério de parada 4 iterações (i = 0, 1, 2, 3, 4) ou |f(xi)|

b) Complemente a implementação do código a seguir para encontrar o zero da função f(x) pelo método da Bissecção utilizando |f(xi)|

Passo 1

E aí galera, como vocês estão? Prontos para mais um exercício sobre o método de Newton? E para quem não lembra, esse é um daqueles métodos que parte de um valor inicial e, por meio de várias iterações, chega em uma solução ao atingir o critério de parada! Neste caso, a cada interação devemos calcular o f ( x i ) , o f ' ( x i ) e o valor seguinte, isto é, x i + 1 = x i - f ( x i ) f ' ( x i ) .

Bora começar pela derivada? Temos um polinômio tranquilinho, só aplicar a regra do tombo:

f ' ( x ) = [ x 4 + x - 4 ] ' =   4 ⋅ x 3 + 1

Passo 2

Em seguida, vamos para as iterações:

Iteração 0: x 0 = 1,5  

f ( x 0 ) = 1 , 5 4 + 1,5 - 4 = 2,5625

f ' ( x 0 ) =   4 ⋅ 1,5 3 + 1 = 14,5

Iteração 1: x 1 = 1,5 - 2,5625 14,5 = 1,3233

  f ( x 1 ) = 1,3233 4 + 1,3233 - 4 =   0,3897

f ' ( x 1 ) =   4 ⋅ 1,3233 3 + 1 = 10,2690

Iteração 2: x 2 = 1,3233 - 0,3897 10,2690 = 1,2854

f ( x 2 ) = 1,2854 4 + 1,2854 - 4 =   0,0153

f ' ( x 2 ) =   4 ⋅ 1,2854 3 + 1 = 9,4952

Iteração 2: x 3 = 1,2854 - 0,0153 9,4952 = 1,2838

f ( x 2 ) = 1,2838 4 + 1,2838 - 4 =   0,0002

Mas olha só: | f ( x 3 | = 0,0002 < 0,001 . Como atingimos um critério de parada, podemos interromper as iterações e afirmar que x = 1,2838 é uma aproximação de raiz de f ( x ) ! Moleeeeeeeza, meu povo!

Resposta

a) Utilizando o critério de parada | f ( x 3 | = 0,0002 < 0,001 , obtemos que x = 1,2838 é um valor aproximado da raiz de f ( x ) .

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Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.
Os gráficos de y= x e y=3-x 2 se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Explique por que as quatro questões seguintes pedem a mesma informação: Determine as raízes de f ( x )=x 3-3 x-1 . Determine as abscissas da interseção da curva y=x 3 com a reta y=3 x+1 . Determine as