Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Enunciado

3) Suponha um tanque de água esférico com raio 10 dm conforme a figure abaixo. Determine o nível de água h ∈ 0,20 (com erro menor que 1mm) tal que o tanque fique preenchido com 1/3 do seu volume, utilizando para tal o método de Newton. Justifique a convergência do método de Newton.

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão queremos saber qual é o nível da água quando o volume preenchido é 1/3 do volume do tanque.

Pra isso vamos precisar do Volume da esfera:

V = 4 π r 3 3

Do Volume em função da altura:

V = π h 2 3 r - h 3

E vamos usar o método de Newton:

x k + 1 = x k - f x k f ' x k

Passo 2

Como temos o raio r = 10   d m e queremos achar a altura quando o volume é 1/3 do volume total, então:

1 3 4 π r 3 3 = π h 2 3 r - h 3

1 3 4 π 10 3 3 = π h 2 3 10 - h 3

4000 3 = 30 h 2 - h 3

Pra resolver essa equação super feiosa temos que usar o método de Newton, então vamos passar tudo pra um lado só e chamar de f h

f h = h 3 - 30 h 2 + 4000 3

E derivando:

f ' h = 3 h 2 - 60 h

Passo 3

Como queremos 1 3 do volume, então é razoável a gente usar um chute inicial que esteja entre 1 3 da altura e da metade da esfera. Vamos chutar h 0 = 8

Aplicando o método de Newton:

h 1 = h 0 - f h 0 f ' h 0

h 1 = 8 - 8 3 - 30 8 2 + 4000 3 3 8 2 - 60 8

h 1 = 7,7407

Pra segunda iteração:

h 2 = h 1 - f h 1 f ' h 1

h 2 = 7,7407 - 7,74078 3 - 30 7,74078 2 + 4000 3 3 7,74078 2 - 60 7,7407

h 2 = 7,7 392

Como queremos o erro menor que 1   m m = 0,01   d m

Temos

h 2 - h 1 = 7,7392 - 7,7407

= 0,0015 < 0,01

Então o valor de h será:

h = 7,7392   d m

Passo 4

Para a convergência do método de newton devemos verificar duas coisas...

A função f ( h ) que a gente achou deve ser contínua no intervalo que pegamos (que foi entre 1/3 e 1/2 do diâmetro da esfera). A derivada primeira e a derivada segunda também devem ser contínuas nesse intervalo.

A outra coisa �� f ' ( h ) no intervalo seja diferente de zero. Como:

f h = 3 h 2 - 60 h

Que só vai ser zero quando h = 0 e h = 20 . Logo f ' h é diferente de zero em todo o intervalo que pegamos.

Com isso garantimos que a convergência do Método de Newton.

Resposta

h = 7,7392   d m

Exercícios de Livros Relacionados

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Os gráficos de y= x e y=3-x 2 se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.
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Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Explique por que as quatro questões seguintes pedem a mesma informação: Determine as raízes de f ( x )=x 3-3 x-1 . Determine as abscissas da interseção da curva y=x 3 com a reta y=3 x+1 . Determine as