Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 99, exercício 21 Adaptado.

Seja f x = x e - x - e - 3 .

a Verifique que f x possui um zero no intervalo 0,1 ;

b Justifique teoricamente o comportamento da sequência x k colocada a seguir, gerada pelo método de Newton para o cálculo do zero de f x em 0,1 , com x 0 = 0.9 e precisão ε = 5 10 - 6 .

Passo 1

a Vamos verificar pelo Teorema de Bolzano:

f 0 = - e - 3 < 0

f 1 = e 2 - 1 e 3 > 0

Como temos f 0 f 1 < 0 , então existe uma raiz nesse intervalo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

b Repare que a sequência começa divergindo e depois passa a convergir para a raiz. Uma explicação para esse comportamento seria se f ' 0.9 0 , explodindo o quociente f x f ' x da nossa função de iteração. Testando isso:

f x = x e - x - e - 3

f ' x = - e - x x - 1

f ' 0.9 = 0.040657

Que é um valor próximo de 0 , daí o comportamento estranho da sequência.

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