Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 8

O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: sin x = 0 e cos x + 1 = 0 . Aplique o Método de Newton-Raphson com x 0 = 3 e precisão 10 - 3 em cada caso e compare os resultados. Explique a diferença no número de iterações realizadas para atingir a precisão.

Passo 1

Cálculos Iniciais

f x = sin x

f ' x = cos x

g x = x - t g x

x 0 = 3

ε = 10 - 3

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.14255

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.14255 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.14255

ε = 10 - 3

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.14159

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.000954 < 10 - 3

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.14159 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Cálculos Iniciais

f x = 1 + cos x

f ' x = - sin x

g x = x + 1 + cos x s i n x

x 0 = 3

ε = 10 - 3

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.07091

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.07091 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.07091

ε = 10 - 3

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.10627

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.138112 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.10627

ε = 10 - 3

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.12393

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.01766 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.12393

ε = 10 - 3

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.13276

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.00883 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 3.13276

ε = 10 - 3

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 3.13718

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.00441 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 3.13718

ε = 10 - 3

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 3.13939

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.00221 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 6 = 3.13939

ε = 10 - 3

Iteração 7 :

x 7 = g x 6 = 3.14049

Critério de Parada:

x 7 - x 6 = 0.0011 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 7 = 3.14049

ε = 10 - 3

Iteração 8 :

x 8 = g x 7 = 3.14104

Critério de Parada:

x 8 - x 7 = 0.00055 < 10 - 3

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.14104 .

Passo 3

Po, na primeira tivemos que fazer só 2 iterações e na segunda 8 ! E não só isso, com aquelas 2 iterações conseguimos uma precisão MUITO maior do que com as 8 da segunda função. Por que isso? Cara, se liga, praticamente sempre que esse método demorar muito (tipo 8 iterações haha) é por causa daquele história da derivada!

Para f x = sin x , temos f ' x = cos x . No zero da função temos f ' π = - 1 , bem longe de zero.

Já para f x = 1 + cos x , temos f ' x = - sin x . No zero da função temos f ' π = 0 . E taí o motivo de demorar bem mais usando essa função ;)

Resposta

f x = sin x : x - = 3.14159 ; 2 iterações.

f x = 1 + cos x : x - = 3.14104 ; 8 iterações.

Na primeira função nós não só precisamos de bem menos iterações como também conseguimos uma precisão muito maior.

Isso acontece porque para a primeira função nós temos f ' π = - 1 . Já para a segunda nós temos f ' π = 0 . O fato de a derivada valer 0 na raiz da equação dificulta o método, fazendo com que ele precise de um número maior de iterações para obter uma precisão inferior.

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