Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Considere T 1 ,   T 2 : R 3 → R 2 definidas por T 1 x , y , z = ( x - y + z , 2 x - y ) e T 2 x , y , z = ( 3 x - 2 y + z , x - z ) . Determine uma base para N u c ( T 1 ) ∩ N u c ( T 2 ) .

Passo 1

Beleza, antes de qualquer coisa temos que achar o núcleo das T L s né. Então vamos lá. Igualando T 1 ao elemento nulo do R 2 :

T 1 x , y , z = x - y + z , 2 x - y = ( 0,0 )

Daí:

x - y + z = 0 2 x - y = 0 1 2

De ( 2 ) temos que:

2 x = y

Substituindo em 1 :

x - 2 x + z = 0

z = x

Sendo assim os vetores do N u c ( T 1 ) são da forma:

x , 2 x , x = x ( 1,2 , 1 )

Ou seja,

N u c T 1 = 1,2 , 1

Passo 2

Agora igualando T 2 ao elemento nulo do R 2 :

T 2 x , y , z = 3 x - 2 y + z , x - z = ( 0,0 )

Dessa igualdade tiramos:

3 x - 2 y + z = 0 x - z = 0 1 2

De 2 :

x = z

Substituindo em 1 :

3 x - 2 y + x = 0

4 x = 2 y

2 x = y

Então, os vetores de N u c ( T 2 ) tem essa cara:

x , 2 x , x = x ( 1,2 , 1 )

Logo,

N u c T 2 = 1,2 , 1

Passo 3

Bom, do resultado que obtivemos está claro que N u c ( T 1 ) e N u c ( T 2 ) são o mesmo subespaço! Como a interseção entre dois espaços iguais é o próprio espaço, teremos que:

N u c T 1 ∩ N u c T 2 = N u c T 1 = N u c T 2 = 1,2 , 1

Então, uma base para N u c ( T 1 ) ∩ N u c ( T 2 ) seria 1,2 , 1

Resposta

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