Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Seja

Se ( a , b , - 1 , - 1 ) pertence ao núcleo de A , então a vale:

  1. -5
  2. -8
  3. -7
  4. -6

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!!

Nosso objetivo é descobrir a entrada a , do vetor ( a , b , - 1 , - 1 ) . Sabemos que esse vetor pertence ao núcleo de A , onde A é a matriz.

Passo 2

Como ( a , b , - 1 , - 1 ) pertence ao núcleo de A , temos:

A ( a , b , - 1 , - 1 ) T = ( 0,0 , 0 ) T

realizando o produto matriz vetor temos:

A ( a , b , - 1 , - 1 ) T =   ( a - 2 b - 2 , - 3 a   + 7 b + 11 ,   - a   + 4 b + 12 ) T

Juntando as duas equações acima temos:

( a - 2 b - 2 , - 3 a   + 7 b + 11 ,   - a   + 4 b + 12 ) = ( 0,0 , 0 )

Como temos uma igualdade entre vetores, então cada entrada tem que ser igual. Ou seja, temos que

a - 2 b - 2 = 0

- 3 a + 7 b + 11 = 0

- a + 4 b + 12 = 0

Que é um sistema linear

Passo 3

No passo anterior conseguimos gerar o sistema

a - 2 b - 2 = 0

- 3 a + 7 b + 11 = 0

- a + 4 b + 12 = 0

Vamos resolvê-lo! Vamos somar a primeira equação com a última. Então temos:

a - a + 4 b - 2 b + 12 - 2 = 0

b = - 5

Achamos o valor de b . Agora vamos substituir esse valor na primeira equação

a - 2 ( - 5 ) - 2 = 0

⇒ a = - 8

E com isso chegamos a conclusão que a = - 8

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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