Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Dentre as transformações lineares T : R 2 → R 2 abaixo, assinale aquela cujo núcleo é a reta 3 x + 2 y = 0 e cuja imagem é a reta 2 x + 6 y = 0 .

a   T x , y = - 18 x + 12 y , 6 x + 4 y

b   T x , y = - 18 x - 12 y , - 6 x + 4 y

c   T x , y = - 18 x - 12 y , 6 x + 4 y

d   T x , y = - 18 x + 12 y , - 6 x + 4 y

Passo 1

Não tem jeito, vamos ter que ir testando uma por uma. Vamos começar pela imagem! Como podemos testar isso? Bom, a imagem de uma T L são todos os vetores que ela consegue gerar!

E a equação da T L nos dá a forma geral dos vetores que ela gera né? Então é só ver se esses vetores gerais obedecem a equação da imagem!

Passo 2

Letra a

2 x + 6 y = 0

2 - 18 x + 12 y + 6 6 x + 4 y = 0

- 36 x + 24 y + 36 x + 24 y = 0

48 y = 0

Já eliminamos essa.

Letra b

2 x + 6 y = 0

2 - 18 x - 12 y + 6 - 6 x + 4 y = 0

- 36 x - 24 y - 36 x + 24 y = 0

- 72 x = 0

Eliminada também.

Letra c

2 x + 6 y = 0

2 - 18 x - 12 y + 6 6 x + 4 y = 0

- 36 x - 24 y + 36 x + 24 y = 0

0 = 0

Opa, temos uma candidata!

Letra d

2 x + 6 y = 0

2 - 18 x + 12 y + 6 - 6 x + 4 y = 0

- 36 x + 24 y - 36 x + 24 y = 0

- 72 x + 48 y = 0

Ta fora.

Bom, como a única que passou no nosso teste da imagem foi a letra c nem precisamos testar o núcleo, já sabemos que essa é a correta.

Resposta

Letra c

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