Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Considere uma transformação linear T : R 40 → R 24 . A dimensão do núcleo de T não pode ser:

  1. 34
  2. 13
  3. 40
  4. 16

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Essa questão é mais tranquila. É uma aplicação direta do teorema do núcleo e da imagem

Lembram do Teorema? Vamos revisar. Ele diz o seguinte

Seja T : U → V , então

d i m ( U )   =   d i m ( I m ( T ) ) + d i m ( k e r ( T ) )

Lembraram? Boa!

Bem, agora que revisamos o teorema, podemos descobrir qual os possíveis valores para o núcleo de T , onde T : R 40 → R 24

Passo 2

Temos a transformação T : R 40 → R 24 . Vamos pensar, qual é o maior valor possível para a dimensão da imagem de T ? Seria quando T for sobrejetiva, né? Já que sua imagem teria dimensão 24 . Aplicando o Teorema do núcleo e da imagem nessas condições, temos:

40 = 24 + d i m ( k e r ( T ) )

⇒ d i m ( k e r ( T ) ) = 16

Como a dimensão da imagem é no máximo 24, a dimensão do núcleo será de no mínimo 16. Então ao olharmos as alternativas, vemos que 13 não é uma dimensão possível para o núcleo de T

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

Exercícios de Livros Relacionados

(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo - ∞ ,∞ e W = F ( - ∞ ,∞ ) o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em (
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
Sejam A e B matrizes mxpepxn , respectivamente. Seja C = A B . Mostre que:f) Se as colunas de B são linearmente dependentes, então as colunas de C também são linearmente dependentes.