Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

12) Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear tal que:

K e r T = [ 1,2 , - 1 ,   - 1,1 , 1 ] e T 2,1 , 1 = ( 4,2 , 2 ) .

Sabe-se que:

1 - 1 2 2 1 1 - 1 1 1 - 1 = 1 3 0 1 - 1 - 1 1 1 1 0 1

Se a , b , c ∈ R 3 e x , y , z ∈ R 3 forem tais que T a , b , c = T ( x , y , z ) , então x + y + z será igual a:

a) 1 3 ( - a + c )

b) 2 3 a + b + C ;

c) 8 3 a + c ;

d) 4 3 2 a + b - c ;

e) 3 a - b + c .

Passo 1

Faaaaala galera, tudo bem?

Nessa questão temos uma transformação linear T com domínio e contradomínio em R 3 . Não é dada a definição de T , mas é dito que:

K e r T = [ 1,2 , - 1 ,   - 1,1 , 1 ]

Logo,

T 1,2 , - 1 = 0,0 , 0 T - 1,1 , 1 = 0,0 , 0

Além disso, também é falado que:

T 2,1 , 1 = ( 4,2 , 2 )

O objetivo é determinar quanto vale x + y + z dado que T a , b , c = ( x , y , z ) .

Show? beleza!

O problema novamente é que não temos a definição de T . Eaí, o que podemos fazer?

Nessas questões que não temos a definição da transformação linear, basicamente temos dois caminhos possíveis a seguir: ou tentamos encontrar uma matriz que represente a transformação T , ou tentamos calcular o que precisamos usando os dados e a linearidade de T .

Massa! Então, vamos tentar resolver usando a linearidade.

Passo 2

Queremos calcular T ( a , b , c ) . Então, vamos tentar escrever ( a , b , c ) como uma combinação linear dos vetores cujas transformações foram dadas no enunciado, beleza?

a , b , c = m 1,2 , - 1 + n - 1,1 , 1 + p ( 2,1 , 1 )

Podemos montar o seguinte sistema:

m - n + 2 p = a 2 m + n + p = b - m + n + p = c

Como no enunciado foi dado uma relação entre duas matrizes (que pareceu meio jogado inclusive), vamos ficar espertos e já tentar escrever esse sistema na forma matricial.

1 - 1 2 2 1 1 - 1 1 1 ⋅ m n p = a b c

O nosso objetivo é descobrir quem são as constantes m ,   n e p em função de a , b e c . Para isso, devemos multiplicar a matriz:

M =   1 - 1 2 2 1 1 - 1 1 1

Pela sua inversa dos dois lados.

m n p = M - 1 ⋅ a b c Aaaaaah, agora a relação de matrizes do enunciado fez sentido né? Haha.

Hahaha! É que a inversa de M , é justamente:

M - 1 =   1 - 1 2 2 1 1 - 1 1 1 - 1

Que, pelo enunciado, vale:

1 - 1 2 2 1 1 - 1 1 1 - 1 = 1 3 0 1 - 1 - 1 1 1 1 0 1

Massa, substituindo na equação matricial, vamos ter que:

m n p = 1 3 0 1 - 1 - 1 1 1 1 0 1 ⋅ a b c

Logo:

m n p = 1 3 ⋅ b - c - a + b + c a + c

Ou seja:

m = 1 3 ( b - c ) n = 1 3 - a + b + c p = 1 3 ( a + c )

Excelenteee!!

Passo 3

Daí, agora que já conhecemos esses coeficientes, podemos usar que:

T a , b , c = T ( m 1,2 , - 1 + n - 1,1 , 1 + p 2,1 , 1 )

Pela linearidade de T , temos:

T a , b , c = m ⋅ T 1,2 , - 1 + n ⋅ T - 1,1 , 1 + p ⋅ T 2,1 , 1

Como:

T 1,2 , - 1 = 0,0 , 0 T - 1,1 , 1 = 0,0 , 0 T 2,1 , 1 = 4,2 , 2

Vem que:

T a , b , c = p ⋅ 4,2 , 2

Mas, como vimos no passo 2 , temos que:

p = 1 3 a + c

Substituindo, temos:

T a , b , c = 1 3 a + c ⋅ 4,2 , 2

⇒ T a , b , c = 4 a + c 3 , 2 a + c 3 , 2 a + c 3

Só que, pelo enunciado:

T a , b , c = ( x , y , z )

Aí agora é só igualar e partir pro abraço, porque vamos ter:

x , y , z =   4 a + c 3 , 2 a + c 3 , 2 a + c 3

Então:

x + y + z = 4 a + c 3 + 2 a + c 3 + 2 a + c 3  

∴ x + y + z = 8 3 a + c

Prontinhoo!! Matamos mais uma questãozinha. Conseguiram entender bem essa?

É isso então, obrigado pela atenção galerinha 😊

Resposta

Letra C: 8 3 a + c .

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