Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Sejam A e B matrizes 3x5 com B escalonada. Suponha que B tenha sido obtida a partir de A por aplicação de operações elementares nas linhas. Assinale a alternativa FALSA.

(a) O núcleo de B é igual ao núcleo de A.

(b) As colunas dos pivôs de B formam uma base da imagem de B.

(c) As linhas de B geram o espaço-linha de A.

(d) As colunas de B geram a imagem de A.

Passo 1

Se B foi “obtida a partir de A através de operações elementares nas linhas”, significa que B foi a matriz resultante do escalonamento de A.

Lembra que, quando escalonamos uma matriz, apenas eliminamos as linhas que são combinações lineares das demais? Isso significa que não mudamos o espaço gerado pelas linhas!

Por outro lado, ao escalonarmos A, mudamos o espaço gerado por suas colunas, mais conhecido como imagem de A.

Vamos ver cada alternativa!

Passo 2

(a) O núcleo de B é igual ao núcleo de A.

Essa afirmação é verdadeira.

Se tivéssemos que achar o núcleo de A, iríamos igualar A à matriz nula e resolver o sistema homogêneo, certo?

Pra resolver esse sistema, precisaríamos escalonar a matriz A.

Logo, pra achar o núcleo de A iríamos acabar usando a matriz B – as duas têm o mesmo núcleo.

Mas calma que essa não é a resposta. A questão quer saber qual é a alternativa falsa 😊

Passo 3

(b) As colunas dos pivôs de B formam uma base da imagem de B.

Essa afirmação também é verdadeira.

Os pivôs são os primeiros elementos não nulos de cada linha (não nula) de uma matriz escalonada.

A matriz B já foi escalonada, então já zeramos quaisquer linhas que fossem LD. Então, se pegarmos as colunas com pivôs, vamos obter uma base pra imagem de B.

Passo 4

(c) As linhas de B geram o espaço-linha de A.

Essa afirmação é verdadeira também!

Lembra que eu falei que quando escalonamos não mudamos o espaço gerado pelas linhas (ou seja, o espaço linha)?

Então!

Se B foi obtida através do escalonamento de A, o espaço-linha delas é o mesmo.

Passo 5

(d) As colunas de B geram a imagem de A.

Essa afirmação é falsa.

Logo no início eu também falei que quando escalonamos A, mudamos o espaço gerado pelas colunas de A.

O espaço gerado pelas colunas de A é a imagem de A.

Então, se B é a matriz A escalonada, a imagem de B não é a mesma que a imagem de A. Em outras palavras, as colunas de B não geram a imagem de A.

Resposta

(d) As colunas de B geram a imagem de A.

Exercícios de Livros Relacionados

(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo - ∞ ,∞ e W = F ( - ∞ ,∞ ) o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em (
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
Sejam A e B matrizes mxpepxn , respectivamente. Seja C = A B . Mostre que:f) Se as colunas de B são linearmente dependentes, então as colunas de C também são linearmente dependentes.