Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Considere o sistema:

- 3 z - 2 y + x + w = 2 z + y + 2 x + 3 w = 3 - 4 z - 3 y - x - 2 w = - 1 - 2 z - y + 3 x + 4 w = 5

Seu conjunto-solução é igual a translação de um sub-espaço de dimensão:

  1. 3
  2. 2
  3. 4
  4. 1

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, dado o sistema:

- 3 z - 2 y + x + w = 2 z + y + 2 x + 3 w = 3 - 4 z - 3 y - x - 2 w = - 1 - 2 z - y + 3 x + 4 w = 5

Queremos encontrar a dimensão de um sub-espaço tal que sua translação é igual ao conjunto solução desse sisteminha fofinho.

Mas calma ai meu patrão, porque quando a gente diz conjunto solução, estamos nos referindo ao núcleo desse sistema. E precisamos saber que o conjunto solução de qualquer sistema homogêneo é uma translação do núcleo. Portanto, traduzindo tudo isso, queremos encontrar na verdade a dimensão do núcleo desse sistema!!

Passo 2

E pra encontramos a dimensão do núcleo, precisamos transformar nosso sistema particular, em um sistema homogêneo, para depois escalonamos. Mas não precisa assustar porque isso é só pra igualar tudo a 0 , desse jeito:

- 3 z - 2 y + x + w = 2 z + y + 2 x + 3 w = 3 - 4 z - 3 y - x - 2 w = - 1 - 2 z - y + 3 x + 4 w = 5 ⇒ - 3 z - 2 y + x + w = 0 z + y + 2 x + 3 w = 0 - 4 z - 3 y - x - 2 w = 0 - 2 z - y + 3 x + 4 w = 0

A gente faz isso, porque agora podemos chamar nossa função simplesmente pela matriz:

- 3 z - 2 y + x + w = 0 z + y + 2 x + 3 w = 0 - 4 z - 3 y - x - 2 w = 0 - 2 z - y + 3 x + 4 w = 0 ⇒ - 3 - 2 1 1 1 1 2 3 - 4 - 3 - 1 - 2 - 2 - 1 3 4

E pra ficar mais fácil pra gente, o bizu matador é a gente tentar zera a coluna referente a variável do eixo x , a terceira coluna no caso. Então pra segunda linha podemos fazer a Linha 2 menos duas vezes a Linha 1, desse jeito:

- 3 - 2 1 1 1 1 2 3 - 4 - 3 - 1 - 2 - 2 - 1 3 4 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1     = - 3 - 2 1 1 7 5 0 1 - 4 - 3 - 1 - 2 - 2 - 1 3 4

Agora para a terceira linha, podemos fazer:

- 3 - 2 1 1 7 5 0 1 - 4 - 3 - 1 - 2 - 2 - 1 3 4 ⇒     L 3 = L 3 + L 1   = - 3 - 2 1 1 7 5 0 1 - 7 - 5 0 - 1 - 2 - 1 3 4

E por fim, para a quarta e última linha, temos:

- 3 - 2 1 1 7 5 0 1 - 7 - 5 0 - 1 - 2 - 1 3 4 ⇒       L 4 = L 4 - 3 L 1 = - 3 - 2 1 1 7 5 0 1 - 7 - 5 0 - 1 7 5 0 1

Logo, as duas últimas linhas são iguaizinhas, e por esse motivo podemos retirar elas da matriz, ficando assim:

- 3 - 2 1 1 7 5 0 1 - 7 - 5 0 - 1 7 5 0 1 ⇒ - 3 - 2 1 1 7 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Passo 3

Show de bola, ta começando a ficar bonito, isso quer dizer que temos apenas duas linhas linearmente independentes (as duas primeiras), e outro bizu quentinho, é que o número de linhas L.I é igual ao número de colunas L.I. E aí que a gente fica favorável, porque a dimensão da imagem é justamente o número de colunas L.I de uma matriz, logo

dim ⁡ I m = 2

E pelo Teorema do Núcleo e Imagem, temos que para uma matriz qualquer A m × n :

dim ⁡ N u c + dim ⁡ I m = n

E para nossa matriz, temos que ela é 4 × 4 , fazendo com que:

dim ⁡ N u c + dim ⁡ I m = 4

E substituindo então o valor da dimensão da imagem que encontramos, temos que:

dim ⁡ N u c + 2 = 4

E portanto:

dim ⁡ N u c = 2

Logo, se a dim ⁡ N u c = 2 , a dimensão do nosso sub-espaço vai ser a mesma. Letra b.

Resposta

Letra (b).

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