Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

  1. Se T   : V → W é uma transformação linear, então a imagem de T é um espaço vetorial.

Passo 1

b)

A imagem é um subconjunto de W que herda suas operações de soma e produto, então para saber se é um espaço vetorial, não precisamos os axiomas dessas operações. Lembrando que imagem são os vetores v tal que existe u ∈ V , tal que T u = v , ou seja, os vetores do contradomínio que são alcançados pelo domínio. Vamos aos 3 passos de sempre.

Passo 2

T 0 = T v - v = T v - T v = 0

Ou seja, T 0 = 0 , então a imagem contém o vetor nulo.

Passo 3

Seja u , v   ∈ I m ( T ) , ou seja, existe s , t   ∈ V tal que T s = u e   T t = v Temos então:

u + v = T s + T t = T s + t

Ou seja u + v é a imagem de s + t , então a soma está na imagem.

Passo 4

Seja agora v ∈ I m ( T ) , ou seja, existe u ∈ V tal que T u = v e λ ∈ R :

λ v = λ T u = T ( λ u )

Ou seja, λ u é a imagem de λ u , então o produto está na imagem.

Como as operações de soma e produto da imagem são herdadas de um espaço vetorial, elas satisfazem os axiomas. Além disso, ela contém o vetor nulo e é fechada para a soma e produto, logo é um espaço vetorial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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