Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Considere os vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 de R 3 , cujas coordenadas na base canônica são:

v 1 ε = 1 ,   1 ,   1 ,     v 2 ε = 0 ,   1 ,   1 ,     v 3 ε = 1 ,   1 ,   0 ,     v 4 ε = 1 ,   2 ,   2

E as matrizes:

A = 1 0 1 1 1 1 1 1 0 ,     B = 1 0 1 1 1 2 1 1 2

C = 1 0 1 3 4 5 6 7 1 1 1 2 1 5 4 1 1 1 0 3 4 5 6 7

D = 1 0 1 2 4 3 5 6 1 1 2 4 8 6 10 12 1 1 2 4 8 6 10 12

  1. Determine se v 1 ,   v 2 ,   v 3 é uma base de R 3 .
  2. Determine se v 1 ,   v 2 ,   v 4 é uma base de R 3
  3. Determine o posto de C .
  4. Determine o posto de D .
  5. Considere os vetores

u 1 = 1 ,   1 ,   1 ,     u 2 = 0 ,   1 ,   1 ,     u 3 = 1 ,   2 ,   2 ,     u 4 = 2 ,   4 ,   4  

u 5 ,   = 4 ,   8 ,   8 ,     u 6 = 3 ,   6 ,   6 ,     u 7 = 5 ,   10 ,   10 ,     u 8 = 6 ,   12 ,   12

E o espaço gerado por estes vetores

V = ger u 1 ,   u 2 ,   u 3 , u 4 ,   u 5 ,   u 6 , u 7 ,   u 8

Determine uma base V e a dimensão de V .

Passo 1

Belezuras galera, na letra (a) queremos descobrir se o conjunto v 1 ,   v 2 ,   v 3 é uma base de R 3 . E pra esse conjunto ser uma base, precisamos respeitar duas condições:

  • Os vetores precisam gerar o espaço R 3
  • Os vetores precisam ser Linearmente Independentes

Show de bola, isso quer dizer que precisamos ter 3 vetores linearmente independentes para ser uma base de R 3 . Como o conjunto v 1 ,   v 2 ,   v 3 já possui três vetores, só precisamos verificar se eles são L.I, bora lá então.

Passo 2

Saca só, pra verificar se eles são L.I, podemos colocar os vetores nas colunas de uma matriz e escalonar, se alguma linha zerar, quer dizer que os vetores são linearmente dependentes, caso contrário, os vetores são L.I. Então montando uma matriz com os vetores, temos:

↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓     = 1 0 1 1 1 1 1 1 0

Que é EXATAMENTE IGUAL A MATRIZ A .

Logo escalonando essa matriz, temos;

1 0 1 1 1 1 1 1 0 ⇒     L 3 = L 3 - L 1 = 1 0 1 1 1 1 0 1 - 1

1 0 1 1 1 1 0 1 - 1 ⇒     L 2 = L 2 - L 1   = 1 0 1 0 1 0 0 1 - 1

E como nenhuma linha zerou, temos que os três vetores são linearmente independentes, logo eles formam uma base para R 3 .

Passo 3

Agora na letra (b) queremos determinar se v 1 ,   v 2 ,   v 4 também é uma base de R 3 . Pra isso podemos usar o mesmo processo do item (a), só que agora com vetor v 4 :

↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 4 ↓ ↓ ↓     = 1 0 1 1 1 2 1 1 2

E por pura coincidência, essa matriz é igual a matriz B , e além de tudo, elas possuem as duas últimas linhas iguais, tal que:

1 0 1 1 1 2 1 1 2 ⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 0 1 1 1 2 0 0 0

E voilá, temos que a última linha zerou, logo os vetores são linearmente dependentes o que impossibilita eles de serem uma base.

Passo 4

Na letra (c) queremos descobrir o posto da matriz C :

C = 1 0 1 3 4 5 6 7 1 1 1 2 1 5 4 1 1 1 0 3 4 5 6 7

E o posto de uma matriz, na verdade ao número de linhas linearmente independentes de uma matriz. Portanto se a gente descobrir quantas linhas independentes a gente tem, vamos descobrir o posto da matriz. Bora lá escalonar ela então:

1 0 1 3 4 5 6 7 1 1 1 2 1 5 4 1 1 1 0 3 4 5 6 7 ⇒   L 2 = L 2 - L 1   L 3 = L 3 - L 1 = 1 0 1 3 4 5 6 7 0 1 0 - 1 - 3 0 - 2 - 6 0 1 - 1 0 0 0 0 0

E nenhuma linha zerou, isso quer dizer que temos 3 linhas independentes, e portanto:

posto C = 3

Passo 5

Da mesma maneira na letra (d), para encontrar o posto, fazemos:

1 0 1 2 4 3 5 6 1 1 2 4 8 6 10 12 1 1 2 4 8 6 10 12 ⇒       L 3 = L 3 - L 2 = 1 0 1 2 4 3 5 6 1 1 2 4 8 6 10 12 0 0 0 0 0 0 0 0

Tal que a matriz só possui 2   linhas independentes, logo:

posto D = 2

Passo 6

E por último, na letra (e) queremos determinar uma base de V e sua dimensão, dado que:

V = ger u 1 ,   u 2 ,   u 3 , u 4 ,   u 5 ,   u 6 , u 7 ,   u 8

Então se a gente escalonar a matriz formada por esses vetores, vamos obter a base de V , e o número de vetores nessa base, vai ser a dimensão no espaço. Então saca só:

u 1 ,   u 2 ,   u 3 , u 4 ,   u 5 ,   u 6 , u 7 ,   u 8 = 1 0 1 2 4 3 5 6 1 1 2 4 8 6 10 12 1 1 2 4 8 6 10 12

O acreditem só, é EXATAMENTE IGUAL a matriz D , que a gente acabou de ver que possui apenas 2 linhas independentes. E aqui vai o bizu master dessa questão, é que:

o número linhas  L.I , é igual ao número de colunas  L.I

Portanto, vamos ter apenas dois vetores linearmente independentes no conjunto u 1 ,   u 2 ,   u 3 , u 4 ,   u 5 ,   u 6 , u 7 ,   u 8 , fazendo com que:

V = 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1

dim ⁡ V = 2

Resposta

  1. Sim, é uma base
  2. Não é uma base
  3. posto C = 3
  4. posto D = 2
  5. V = 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1       e       dim ⁡ V = 2

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