Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Seja T uma transformação linear, T   :   R 3 → R 2 , cuja imagem é a reta 3 x   -   3 y   =   0 e núcleo é o plano de equação 3 x   -   3 y   +   z   =   0 . Assinale uma matriz que representa esta transformação linear:

(a) - 3 - 3 3 3 1 - 1   (b) - 3 3 1 - 3 3 0 (c) - 3 3 - 1 - 3 3 - 1 (d) - 3 - 3 3 3 1 0 (e) Não sei

Passo 1

E aí, galerinha!

Como que foi essa P3 aí!?

O produtor tá aqui pra ajudar a responder todas as questões dessa prova!

Portanto, bora pra primeira questão!

Bom! A gente tem uma transformação linear T : R 3 → R 2 cuja imagem é a reta abaixo...

3 x   -   3 y   =   0

E o núcleo é o plano da seguinte equação

3 x   -   3 y   +   z   =   0

E temos que identificar a transformação linear

Passo 2

Bom! Temos uma transformação T de R 3 → R 2 !

Que belezinha, né! Isso significa que já dá pra excluir as alternativas (a) e (d), pois nessas duas aí, a transformação parte de R 2 e não de R 3 !

O segredo aqui, é ver quais alternativas já dá pra eliminar de cara! Pra não perder tempo!

Passo 3

Nesse item (b), temos a seguinte transformação...

T x , y , z = ( - 3 x + 3 y + z , - 3 x + 3 y )

Substituindo na imagem que a gente tem...

3 x   -   3 y   =   0

3 ( - 3 x + 3 y + z )   -   3 ( - 3 x + 3 y ) =   0

z = 0

Podemos ver que essa alternativa não vai satisfazer! Tiramos essa!

Passo 4

No item (c), a gente tem que...

T x , y , z = ( - 3 x + 3 y - z , - 3 x + 3 y - z )

Substituindo na imagem...

3 x   -   3 y   =   0

3 ( - 3 x + 3 y - z )   -   3 ( - 3 x + 3 y - z ) =   0

0 = 0

Ih, rapaz! É essa! Achamos a nossa resposta!

Aí sim, meus queridos (as). A bola da vez é a letra (c)!

Resposta

(c) - 3 3 - 1 - 3 3 - 1

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