Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

14) Sejam V um espaço vetorial não nulo de dimensão finita e T : V → V uma transformação linear tal que K e r T = I m ( T ) . Assinale a alternativa correta:

a) Vale necessariamente que T ∘ T = 0 e T ≠ 0 ;

b) vale necessariamente que T = 0 ;

c) vale necessariamente que T ∘ T = T ;

d) é possível que dim ⁡ V = 5 ;

e) vale necessariamente que V = K e r T + I m ( T )

Passo 1

Faaala galera, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos uma transformação linear T , com domínio e contradomínio em V , de modo que:

K e r T = I m ( T )

A partir disso são feitas várias afirmações, então vem comigo que a gente vai analisar cada uma delas com calma!

Pra começar, o que podemos afirmar sobre T ∘ T ?

Bom, tudo o que sabemos sobre T é que:

K e r T = I m ( T )

Então, bora pegar um vetor u , tal que u ∈ V . Assim:

T ∘ T u = T T u

Assim, bora dizer que:

T u = v

v ∈ I m ( T )

Só que, como K e r T = I m ( T ) , temos que:

v ∈ K e r ( T )

Logo:

T ∘ T u = T v

Como v ∈ K e r ( T ) , teremos:

T v = 0

Ou seja, independente de qual elemento tomarmos do domínio V , sempre vale que:

T ∘ T = 0

Bem legal essa implicação né, galera?

Passo 2

Passo 3

Analisando as alternativas, outra afirmação recorrente é se T = 0 ou T ≠ 0 . Bora dar uma investigada!

Se T = 0 , significa que para qualquer elemento u ∈ V , temos:

T u = 0

Se isso for verdade, o que podemos afirmar sobre a imagem de T ?

Bom, se T sempre for igual a zero, então:

I m T = 0

Mas, como K e r T = 0 , temos também que:

K e r T = I m T = 0

Consequentemente:

dim ⁡ K e r T = dim ⁡ I m T = 0

Pelo teorema fundamental da álgebra, teríamos

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + d i m ⁡ ( I m T )

∴ dim ⁡ V = 0

Só que isso é absurdo, pois no enunciado é falado que V é um espaço vetorial não nulo.

Daí, por absurdo nós podemos concluir que, necessariamente:

T ≠ 0

Eaí, conseguiu pegar a ideia? O bizu é sempre pensar nas dimensões desses espaços 😊

Passo 4

Na letra d é falado que é possível que dim ⁡ V = 5 . Será que é verdade?

Bom, vamos pensar novamente nas informações que temos:

K e r T = I m T

∴ dim ⁡ K e r T = dim ⁡ I m T

Daí, pelo teorema fundamental da álgebra:

dim ⁡ V = 2 ⋅ dim ⁡ I m T

Isso significa que a dimensão de V é um número par. Por isso, não é possível termos dim ⁡ V = 5 . Sacaram?

Passo 5

Pra finalizar, na letra e) é falado que vale, necessariamente:

V = K e r T + I m T

Vamos supor que essa afirmação seja verdadeira. Então, novamente usando a ideia de dimensão, teríamos:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + I m T

∴ dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T - dim ⁡ K e r T ∩ I m T

Só que, como K e r T = I m ( T ) , temos que

K e r T ∩ I m T = K e r T

Logo:

dim ⁡ K e r T ∩ I m T = dim ⁡ K e r T

Substituindo, temos:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T - dim ⁡ K e r T

⇒ dim ⁡ V = dim ⁡ I m T

Mas, como vimos no passo anterior, pelo teorema fundamental da álgebra vale que:

dim ⁡ V = 2 ⋅ dim ⁡ I m T

Ambas as equações só poderiam ser obedecidas se dim ⁡ I m T = 0 , só que isso implicaria T = 0 , o que já mostramos ser absurdo.

É por isso que a letra e) também está incorreta!

Boaaa! No final de tudo, vemos que a alternativa correta é a letra a).

Deu pra aprender bastante nessa questão, bora continuar nesse pique que a gente vai destruir qualquer questão de álgebra linear 😉

Resposta

Letra a.

Exercícios de Livros Relacionados

(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo - ∞ ,∞ e W = F ( - ∞ ,∞ ) o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em (
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
Sejam A e B matrizes mxpepxn , respectivamente. Seja C = A B . Mostre que:f) Se as colunas de B são linearmente dependentes, então as colunas de C também são linearmente dependentes.