Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

c) Seja M 2 x 2 o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 . Se T   :   M 2 x 2 →   M 2 x 2 é a transformação linear definida por T A = B A . Onde B = 1 2 2 4 é uma matriz fixa, então T tem posto 2 .

Passo 1

c)

Bom, nessa questão aqui teremos de pensar matrizes não só como TLs, mas como vetores também. A   é um vetor e B uma TL, mas relaxa que no fundo será a mesma coisa que fazemos em R n .

Vamos começar pensando que nossas matrizes A tem uma forma genérica:

A = a b c d

Passo 2

Substituindo na transformação teremos:

T A = B A = 1 2 2 4 . a b c d = a + 2 c b + 2 d 2 a + 4 c 2 b + 4 d

Podemos separar na seguinte soma:

a + 2 c b + 2 d 2 a + 4 c 2 b + 4 d = a + 2 c 0 2 a + 4 c 0 + 0 b + 2 d 0 2 b + 4 d

E agora separando em produto:

a + 2 c 0 2 a + 4 c 0 + 0 b + 2 d 0 2 b + 4 d = ( a + 2 c ) 1 0 2 0 + ( b + 2 d ) 0 1 0 2

Passo 3

Repare que apesar de termos 4 variáveis a princípio, só conseguimos gerar matrizes que são combinações de 1 0 2 0 e 0 1 0 2 . Além disso essas matrizes são LI, logo representam uma base para a imagem, sendo assim concluímos que:

D i m ( I m T ) = P o s t o T = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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