Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Seja T : P 1 → M 2 × 1 uma transformação linear entre o espaço vetorial dos polinômios de grau até 1 com coeficientes reais, e o espaço vetorial das matrizes coluna com 2 linhas, com elementos reais. Se a matriz associada a T , em relação às bases canônicas de P 1 e M 2 × 1 é:

T = 0 1 0 0

a Determine uma base para I m T , o subespaço de M 2 × 1 cujos elementos são imagem de T p x , para algum p x ∈ P 1 .

b Determine uma base para ker ⁡ T , o subespaço de P 1 cujos elementos tem imagem T p x = 0 0 ∈ M 2 × 1 .

Dica: A base canônica de P 1 é α = 1 , x , e seus vetores são escritos, nesta base, simplesmente como 1 = 1.1 + 0 . x ⇒ 1 α = 1 0 , x = 0.1 + 1 . x ⇒ x α = 0 1

Passo 1

a Vamos pegar um polinômio genérico de P 1 :

p x = a + b x

Escrevendo ele na base canônica temos:

p x α = a b

Aplicando ele na transformação:

0 1 0 0 a b = b 0

E taí a nossa imagem:

I m T = b 0

E uma base pra ela:

b 0

Passo 2

b Agora queremos saber que polinômios zeram nossa matriz, então temos que resolver o sistema homogêneo:

0 1 0 0 0 0

y = 0

Tranquilinho né? Temos que o vetor genérico do nosso núcleo é:

x 0

Então uma base para nosso núcleo é:

1 0 = 1

Ou seja, funções constantes.

Resposta

a b 0

b 1

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