Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 127 – Fix 4.14

Considere Equation definida por Equation (duas derivadas). Determine se fazem parte do Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Primeiro, qual o domínio e o contra domínio dessa Equation ? Ela pega vetores do Equation e leva em vetores do Equation . Logo, ambos são o Equation . Lembrando que Equation é o espaço dos polinômios de terceiro grau ou menor.

Deixei o “ou menor” em negrito porque temos que ter cuidado pra não eliminarmos as letras Equation , Equation e Equation só porque não são de terceiro grau. Elas fazem parte de Equation !!

Dito, isso, vamos testar letra por letra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Aplicando a Equation ao polinômio dado:

Equation

Bom, Equation claramente não é igual ao elemento nulo do contra domínio: Equation .

Logo, ele não faz parte do Equation .

Passo 3

Equation Aplicando a Equation :

Equation

Opa, a transformação levou o polinômio Equation em Equation . Logo, ele faz parte do Equation .

Passo 4

Equation Aplicando a Equation ao polinômio dado:

Equation

Novamente Equation . Logo, Equation não faz parte do Equation .

Passo 5

Equation Por último:

Equation

Como Equation , ele faz parte do Equation .

Resposta

Equation e Equation fazem parte do Equation .

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