Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Considere a transformação linear T : R 5 → R 3 dada pela matriz

Onde k é uma constante real. Determine, se possível, o que é pedido abaixo em cada item.

Caso não seja possível, justifique.

(a) Todos os valores de k tais que dim ⁡ I m T = 0 .

(b) Todos os valores de k tais que dim ⁡ I m T = 1 .

(c) Todos os valores de k tais que dim ⁡ I m T = 2 .

(d) Todos os valores de k tais que dim ⁡ I m T = 3 .

Passo 1

A matriz para a transformação T dada foi:

Vamos considerar essa matriz como sendo uma matriz formada pelos vetores u, v e w nas linhas, desse jeito:

← u → ← v → ← w →

Passo 2

Passo 3

(a) e (b)

O contradomínio da transformação T é R 3 .

Como a imagem mora no contradomínio, sua dimensão é menor ou igual a 3:

D i m I m T ≤ 3

Lembra que a dimensão da imagem também é igual ao número de linhas LI?

Para que a dimensão da imagem seja 0, todas as 3 linhas teriam que ser LD, certo?

Mas os vetores u e w das linhas não são múltiplos, pois a primeira coordenada de u é um inteiro e a primeira de w é zero.

Então, a dimensão da imagem de T só pode ser 2 ou 3.

Passo 4

(c) Para que dim ⁡ I m T = 2 , a segunda linha da matriz T, isso é, o vetor v, teria que uma combinação linear de u e w.

Ou seja, teríamos que ter:

a u + b w = v

a 1,2 , 1,7 , 2 + b 0,1 , - 1,2 , 2 = 2,1 , 5 , k , - 2

a , 2 a + b , a - b , 7 a + 2 b , 2 a + 2 b = 2,1 , 5 , k , - 2

Da primeira coordenada, temos que:

a = 2

Substituindo na terceira:

a - b = 5   ⇒   2 - b = 5

∴ b = - 3

Substituindo esses valores na quarta coordenada:

7 a + 2 b = k

k = 7 2 + 2 - 3

k = 8

Passo 5

(d) Vamos usar o raciocínio “contrário” da (c) aqui!

Queremos que a dimensão da imagem seja 3, então nenhuma das linhas vai poder ser CL de outra.

Como vimos que só era possível a segunda linha ser CL da primeira e da terceira, e a condição para isso era que:

k = 8

Agora, para que isso não ocorra, vamos ter:

k ≠ 8

Ou seja, qualquer valor de k ≠ 8   é possível para que Dim(Im(T)) seja 3.

Resposta

(a) dim ⁡ I m T ≠ 0 para todo k pois dim ⁡ I m T = 2 ou 3.

(b) dim ⁡ I m T ≠ 0 para todo k pois dim ⁡ I m T = 2 ou 3.

(c) k = 8

(d) k qualquer, desde que k ≠ 8

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