Enunciado

Sejam P 2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois e M 2 x 1 o espaço vetorial das matrizes de duas linhas e uma coluna. Considere a transformação T   : P 2 → M 2 x 1 dada por

T p x = p ( 2 ) p ( 5 )

  1. Mostre que T é uma transformação linear.
  2. Determine T 2 x 2 - 3 x + 5
  3. Encontre, se possível, um polinômio q ( x ) de grau um e tal que T q x = 1 7 . Caso contrário, justifique.
  4. Encontre, se possível, um polinômio p ( x ) não nulo pertencente ao núcleo de T , ou seja, tal que T p x = 0 0 . Caso contrário, justifique.
  5. Determine d i m ⁡ ( I m T ) , ou seja, determine o posto de T .

Passo 1

a)

Então, esse primeiro item pede pra gente mostrar que essa transformação é linear, mas ela é meio estranha né? Vamos tentar escrever de um jeito que estamos mais acostumados:

T p x = p ( 2 ) p ( 5 )

Vamos trocar esse p ( x ) por a x 2 + b x + c , substituindo x quando necessário:

T a x 2 + b x + c = 4 a + 2 b + c 25 a + 5 b + c

Passo 2

Olha só que interessante, o vetor que sai da transformação só depende de a , b , c . Então para facilitar nossa vida, podemos trabalhar com os coeficientes e não com o polinômio todo! Dessa forma:

T a , b , c = 4 a + 2 b + c 25 a + 5 b + c

Colocando esses coeficientes em linhas temos:

T = 4 2 1 25 5 1

Hum... descobrimos que se trabalharmos com os coeficientes dos polinômios temos uma forma matricial pra nossa transformação, (se quiser, tem até um nome bonito pra isso: isomorfismo) como matrizes são sempre lineares, nossa transformação em questão é linear!

Passo 3

b)

Usando a mesma ideia do item anterior:

T 2 x 2 - 3 x + 5 = 4 2 1 25 5 1 . 2 - 3 5 = 7 40

Passo 4

c)

Um polinômio de grau 1 tem a forma 0 x 2 + b x + c , usando a forma encontrada anteriormente: T 0 x 2 + b x + c = 4 2 1 25 5 1 . 0 b c = 2 b + c 5 b + c = 1 7

Logo teremos o sistema:

2 b + c = 1 5 b + c = 7

Fazendo a segunda linha menos a primeira:

3 b = 6

b = 2

Substituindo na primeira:

c = - 3

Então temos o polinômio q x = 2 x - 3

Passo 5

d)

Usaremos um polinômio da forma a x ² + b x + c , usando a forma encontrada anteriormente: T a x 2 + b x + c = 4 2 1 25 5 1 . a b c = 4 a + 2 b + c 25 a + 5 b + c

Queremos que ele esteja no núcleo, logo:

4 a + 2 b + c = 0 25 a + 5 b + c = 0

Passo 6

Multiplicando a primeira linha por 25 e a segunda por - 4 , e somando-as, podemos rapidamente achar a solução.

30 b + 21 c = 0

b = - 7 c 10

Substituindo na primeira:

4 a - 7 c 5 + c = 0

a = c 10

Logo:

a b c = c 10 - 7 c 10 c → c x 2 10 - 7 c x 10 + c

Passo 7

Como a questão pede um exemplo, vamos usar c = 10 pra atender o pedido:

x 2 - 7 x + 10

Passo 8

e)

Acabamos de ver no item anterior que conseguimos descrever o núcleo com apenas uma variável, logo possui dimensão 1, pelo teorema núcleo-imagem:

D i m I m T + D i m N T = n

D i m I m T + 1 = 3

D i m I m T = 2

Resposta

b)   7 40

c)   q x = 2 x - 3

d)   p x = x 2 - 7 x + 10

e)   D i m I m T = 2

Exercícios Relacionados

Exercícios de Livros Relacionados