Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Assinale o conjunto que é uma base para o núcleo da matriz 1 1 2 2 3 3 4 4 :

(a) { ( 1 ,   - 1 ) }

(b) { 1 ,   0 ,   ( 0 ,   1 ) }

(c) { 0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   0 ) ,   ( 0 ,   0 ,   0 ,   1 ) }

(d) { ( - 2 ,   1 ,   0 ,   0 ) ,   ( - 3 ,   0 ,   1 ,   0 ) ,   ( - 4 ,   0 ,   0 ,   1 ) }

Passo 1

Bom, o núcleo da matriz é um conjunto solução, logo os vetores pertencentes a ele são do domínio.

Como os vetores do domínio da matriz tem o número de coordenadas igual ao número de colunas, sabemos que esses vetores serao do R 4 . Com isso já eliminamos a letra (a) e (b).

Passo 2

Agora podemos simplesmente achar o núcleo da matriz!

Mas pera, tem um jeito muito mais rápido de resolver esse problema: usando a definição de núcleo!

O núcleo é o conjunto de vetores que levam a matriz ao zero, logo, os vetores que formam a base devem zerar a matriz.

Só de olhar, conseguimos ver que os vetores da letra (c) não pertencem ao núcleo, assim, nossa resposta vai ser a letra (d).

Resposta

d

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2