Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

Ver Teoria

Enunciado

Indique qual vetor tem que ser acrescentado à lista 1 , 2 , - 3,0 , 2,1 , 0 , - 3 para se obter uma base do núcleo da matriz

A = 1 1 1 1 2 2 2 2

a   - 1,1 , 3 , - 3

b   Nenhum vetor, já é uma base.

c   1 , - 1,3 , - 3

d   2 , - 1,3 , - 3

Passo 1

Se passarmos a matriz pra forma de sistema e eliminarmos as equações redundantes, ficamos com:

x + y + z + w = 0

Temos 4 variáveis e 1 equação, então temos 3 variáveis livres! Ou seja, o núcleo de A tem dimensão 3 .

Ele nos dá no enunciado um conjunto com 2 vetores L I (basta observar as posições dos zeros). Então para que tenhamos uma base do núcleo da matriz, basta acrescentarmos mais um vetor que seja L I e que satisfaça a equação x + y + z + w = 0 .

Com isso eliminamos a letra b que diz que já é base. E também eliminamos a letra d que não satisfaz a equação!

Passo 2

Sobraram a letra a e a letra c . Certamente, uma será L I e a outra L D em relação ao conjunto. Então vamos jogar todos esses vetores em uma matriz e ver qual linha zera:

1 2 - 3 0 2 1 0 - 3 - 1 1 3 - 3 1 - 1 3 - 3 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 L 3 ← L 3 + L 1 L 4 ← L 4 - L 1 1 2 - 3 0 0 - 3 6 - 3 0 3 0 - 3 0 - 3 6 - 3 → L 3 ← L 3 + L 2 L 4 ← L 4 - L 2 1 2 - 3 0 0 - 3 6 - 3 0 0 6 - 6 0 0 0 0

Opa, a última zerou, então o vetor 1 , - 1,3 , - 3 é L D ! Logo, a certa tem que ser a letra a , que não foi zerada.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2