Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

Ver Teoria

Enunciado

Seja A uma matriz 4 × 4 cujo núcleo tem como base β = 1,1 , 0,1 , 1,1 , 1,0 . Sabendo que v = 1 , 2,0 , - 1 é solução de A v = b para um certo b , uma outra solução do mesmo sistema é dada por:

( a ) 1,2 , 0,1

( b ) 1,2 , - 1,0

( c ) 1,2 , 1 , - 1

( d ) 1,2 , 0,0

Passo 1

Se pegarmos a nossa solução v e somarmos com algum vetor u do núcleo de A o que acontece? Vamos ter o seguinte:

A v + u = A v + A u = b + 0 = b

Ou seja, pegando qualquer vetor do núcleo de A e somando em v continuamos tendo uma solução para o sistema A x = b . Então a opção certa tem que poder ser escrita como:

w = 1,2 , 0 , - 1 ⏟ v + a 1,1 , 0,1 + b 1,1 , 1,0 ⏟ u ∈ N u c A

Passo 2

Letra a

1,2 , 0,1 = 1,2 , 0 , - 1 + a 1,1 , 0,1 + b 1,1 , 1,0

0,0 , 0,2 = a 1,1 , 0,1 + b 1,1 , 1,0

a + b = 0 a + b = 0 b = 0 a = 2

Claramente esse sistema não tem solução, então essa letra está errada!

Passo 3

Letra b

1,2 , - 1,0 = 1,2 , 0 , - 1 + a 1,1 , 0,1 + b 1,1 , 1,0

0,0 , - 1,1 = a 1,1 , 0,1 + b 1,1 , 1,0

a + b = 0 a + b = 0 b = - 1 a = 1

Opa, esse sistema tem solução! Logo, o vetor 1 , 2 , - 1,0 é solução do sistema pois ele pode ser escrito como:

1,2 , - 1,0 = 1,2 , 0 , - 1 + 1,1 , 0,1 - 1,1 , 1,0

A 1,2 , - 1,0 = A 1,2 , 0 , - 1 + A 1,1 , 0,1 - A 1,1 , 1,0

A 1,2 , - 1,0 = b + 0 - 0

A 1,2 , - 1,0 = b

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2