Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz m × n :

I - Se A é injetiva, então A T A é injetiva

I I - Se A T A é injetiva, então A T é injetiva

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas dão verdadeiras

(d) I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Se A essa matriz:

↑   ↑ v 1 … v n ↓   ↓ x → = 0 … 0

Sendo x → = a 1 … a n T , vamos ficar com uma combinação linear:

a 1 v 1 + … + a n v n = 0

Mas como A é injetiva, o único vetor solução desse sistema homogêneo é o vetor nulo! Então a 1 = … = a n = 0 , ou seja, todos os coeficientes são nulos.

Isso acontece quando temos uma combinação linear de vetores L I dando o vetor nulo.

Assim, provamos que nossas colunas são L I ‼

Passo 2

Agora vamos ver nossa A T :

← v 1 →   …   ← v n →

E nossa A T A vai ser:

v 1 , v 1 ⋯ v 1 , v n ⋮ ⋱ ⋮ v n , v 1 ⋯ v n , v n

Se essa matriz for injetiva, vamos ter as colunas L I ‼ Então:

v 1 , v 1 ⋯ v 1 , v n ⋮ ⋱ ⋮ v n , v 1 ⋯ v n , v n x → = 0 … 0

a 1 v 1 , v 1 + … + a n v 1 , v n = 0 ⋮ ⋮ a 1 v n , v 1 + … + a n v n , v n = 0

Pela linearidade, isso é o mesmo que:

v 1 , a 1 v 1 + … + a n v n = 0 ⋮ v n , a 1 v 1 + … + a n v n = 0

Opa, preciso que essa combinação linear seja ortogonal a todos os vetores das colunas! Isso só vai acontecer se a 1 v 1 + … + a n v n = 0 , mas, vimos no passo 1 que quando isso acontece,   a 1 = … = a n = 0 .

Assim, provamos que essa afirmativa é verdadeira, A T A é injetiva pois suas colunas são L I .

Passo 3

Vamos para a afirmativa I I ! Se tenho A T A é injetiva, A T   vai ser injetiva?

Bom, se você reparar na demonstração da afirmativa I , vai ver que aa recíproca é verdadeira. Ou seja, por A T A ser injetiva, posso afirmar que A é injetiva.

Vimos que para ser injetiva, as colunas da matriz devem ser L I . Assim, se A é injetiva, temos n colunas L I .

Vamos ter n linhas L I já que o número de linhas e colunas L I   é o mesmo. Se m > n , vamos ter m - n   linhas L D .

Então A T , cujas colunas são as linhas de A não vai ser injetiva! Pois vimos que vai ter colunas L D quando m foir maior que n .

Só vai ser verdadeiro se m = n .

Resposta

a

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2