Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A = 1 2 3 3 2 1 a 4 10 . Assinale o valor de a para que o núcleo de A tenha dimensão igual a 1 .

a   2

b - 2

c   4

d - 4

Passo 1

O núcleo de A é a solução do sistema representado pela matriz aumentada abaixo:

1 2 3 3 2 1 a 4 10 0 0 0

Vamos escalonar esse negócio então:

1 2 3 3 2 1 a 4 10 0 0 0 → L 2 ← L 2 - 3 L 1 L 3 ← L 3 - a L 1 1 2 3 0 - 4 - 8 0 4 - 2 a 10 - 3 a 0 0 0 → L 3 ← L 3 + 2 - a 2 L 2 1 2 3 0 - 4 - 8 0 0 a + 2 0 0 0

Beleza, sabemos que a dimensão do nosso núcleo é o número de variáveis livres. Como nosso sistema tem três variáveis, para termos uma variável livre precisamos de exatamente 2 equações.

No momento, nosso sistema tem 3 equações, então basta zerarmos 1 delas para que a dimensão do núcleo seja 1 . Logicamente vamos zerar a última que está dependendo do nosso a . Basta fazermos a = - 2 que a linha vai zerar e teremos uma variável livre.

Resposta

Letra b

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2