Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz e R uma de suas formas escalonadas. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. A dimensão do núcleo de A é igual à dimensão do núcleo de R .
  2. O núcleo de A é igual ao núcleo de R .

a   A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

b   Ambas são falsas.

c   Ambas são verdadeiras.

d   A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

Passo 1

Antes de irmos para a questão vamos ver um exemplo pra fazer vocês entenderem mais claramente. Imagine que temos um sistema A x = b . Quando nós escalonamos para tentarmos encontrar a solução, obtemos algo do tipo R x = c , onde R é a matriz A escalonada e o vetor c é o vetor b depois de passar por todas as operações de escalonamento.

Sabemos com certeza que o resultado de A x = b e R x = c é o mesmo, mas não podemos dizer que o resultado de A x = b é o mesmo de R x = b concorda? Aqui o vetor solução tem valores que serão alterados com o escalonamento. Sendo assim, escalonar apenas a matriz A e escalonar a matriz aumentada são suas coisas diferentes.

Já quando queremos o núcleo e resolvemos A x = 0 , sabemos que terá a mesma solução de R x = 0 ! Aqui só temos zeros no vetor solução, então pouco importa se vamos escalonar a matriz aumentada ou a matriz A apenas. Com isso, chegamos a conclusão de que o núcleo da matriz A será sempre igual ao da matriz R .

Resposta

Letra c

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
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