Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Sejam A = 1 2 3 4 1 2 4 3 e B = 1 2 5 4 1 2 4 4 . Defina H = N A ∩ N B (interseção do núcleo de A com o núcleo de B ). A dimensão de H é:

a   1

b   0

c   2

d   3

Passo 1

Bom, o núcleo de A é definido pelas soluções do sistema:

1 2 3 4 1 2 4 3 0 0

Já o núcleo de B é definido pelas soluções desse sistema aqui:

1 2 5 4 1 2 4 4 0 0

Bom, a interseção dos dois núcleos tem que satisfazer ambos os sistemas correto? Então temos que N A ∩ N B é dado pelas soluções do sistema abaixo:

1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 5 4 1 2 4 4 0 0 0 0

Passo 2

Repare no entanto que o enunciado apenas pede a dimensão do núcleo, então não precisamos de fato calcular ela! Basta escalonarmos a matriz aumentada e ver no que dá:

1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 5 4 1 2 4 4 0 0 0 0 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 - L 1 L 4 ← L 4 - L 1 1 2 3 4 0 0 1 - 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 L 4 ← L 4 - L 2

1 2 3 4 0 0 1 - 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 → L 4 ← L 4 - L 3 2 1 2 3 4 0 0 1 - 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

Opa, terminamos com um sistema de 3 equações e 4 variáveis, o que implica que temos uma variável livre. Logo, o núcleo de N A ∩ N B tem dimensão 1 .

Resposta

Letra ( a )

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2