Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que o seu núcleo é o plano x + y + z = 0 . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   A imagem de A T é a reta na direção do vetor 1 , 1,1

b   O núcleo de A T é o plano x + y + z = 0

c   O núcleo de A T é a reta na direção do vetor 1 , 1,1

d   A imagem de A é a reta na direção do vetor 1 , 1,1

( e ) Não sei

Passo 1

Temos o núcleo de A e um monte de opções falando de transpostas! Então você já pode desconfiar que vamos usar o seguinte:

N u c A = I m A T ⊥ e I m A T = N u c A ⊥

Tá bom! Quem é o complemento ortogonal do plano x + y + z = 0 ?

É justamente o vetor 1 , 1,1 !

E como o núcleo de A é esse plano, temos que o vetor 1 , 1,1 é o complemento ortogonal do núcleo de A !

Mas pela nossa relação ali em cima também temos que a imagem da transposta é o complemento ortogonal do núcleo de A ! Logo:

I m A T = 1,1 , 1

A resposta então, é a letra a .

Resposta

Letra ( a )

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2