Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Sejam A e B matrizes tais que o produto AB está definido. Considere as afirmações:

(I) Se A B = 0 , então I m ( B ) é subespaço de N u c ( A ) .

(II) N u c ( A B ) contém N u c ( B ) .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Se A B = 0 , então significa que a matriz B zera a matriz A.

Lembra que o núcleo de uma matriz são os caras que levam ela no vetor nulo??

Então se B faz isso, B pertence ao núcleo de A.

Melhor ainda, o espaço gerado pelas colunas de B (imagem) está no núcleo de A e é subespaço dele.

A afirmação I é verdadeira.

Passo 2

(II) O núcleo de AB são os vetores v tais que A B v = 0 .

Repara que:

A B v = 0 ∴ A B v = 0  

Se eu pego os caras u   tais que B u = 0 (que são os vetores que estão no núcleo de B) e multiplico B u   por A eu vou obter o vetor 0:

A B u ⏟ 0 = 0

A 0 = 0

Mas os vetores u que zeram B são os vetores do núcleo de B, né?

Então a afirmação II também é verdadeira, e o núcleo de B está dentro do núcleo de A.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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