Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz tal que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial de suas colunas. Verifique as afirmativas abaixo:

I - O núcleo de A é um conjunto infinito

II - Uma das colunas de A é gerada pelas demais

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) Ambas são falsas

(d) I é falsa e II é verdadeira

Passo 1

Vamos supor que a matriz A   é:

A = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ …   ↑ v n ↓

Suas colunas são { v 1 , v 2 , … ,   v n } .

Passo 2

Agora vamos tentar escrever matematicamente o que o enunciado disse pra gente:

Primeiro ele disse que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial das colunas. Então:

α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = 0

Em que os coeficientes { α 1 , α 2 , … , α n } podem não ser todos iguais a zero.

Isso lembra alguma coisa a vocês?

A definição de dependência linear!! Só pra lembrar: quando o único jeito de gerar o vetor nulo a partir de uma C L   dos vetores for com todos os coeficientes iguais a zero, o conjunto é L I .

Beleza então como o enunciado tá falando exatamente o contrário disso, podemos concluir que o conjunto é L D .

Passo 3

Vamos para as afirmativas agora:

I - O núcleo de A é um conjunto infinito

O núcleo é o conjunto de vetores que levam a matriz a zero:

A = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ …   ↑ v n ↓ α 1 α 2 … α n = 0 0 … 0

α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = 0

Reparem que eu chamei tanto os coeficientes da combinação linear lá de cima quanto as coordenadas do meu vetor pertencente ao núcleo da mesma forma. E foi de próposito!!

Conseguimos ver agora que eles representam a mesma coisa!!

Além disso sabemos que o núcleo é uma solução de sistema linear, que pode ser única ou infinita. Acontece que a solução trivial (vetor nulo) é sempre solução, então quando é única, o núcleo é formado só por ele!

No enunciado, entretanto, vimos que a nossa C L tem solução não trivial, ou seja, diferente do vetor nulo! Assim, sabemos que vai ter infinitas soluções e nossa afirmativa é verdadeira!

Passo 4

II - Uma das colunas de A é gerada pelas demais

Bom, já sabemos que nossas colunas formam um conjunto L D e ser L D   significa exatamente ter um vetor C L   dos demais no conjunto. Ou seja, gerado pelos demais!!

Logoooo, essa é verdadeira também.

Resposta

b

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2