Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere as afirmações abaixo:

(I) Considere um sistema linear A x = b que não admite solução e seja B = A b a matriz aumentada desse sistema. Então dim ⁡ I m B = dim ⁡ I m A .

(II) Se o sistema A x = 2 , - 1,3 T tem solução única, então A é injetiva.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Seja A x = b um sistema sem solução.

Isso significa que b não pertence à imagem de A, logo b não é gerado pelas colunas de A e b não é CL das colunas de A.

Agora vamos considerar a matriz aumentada B = A b .

Então dim ⁡ I m B > d i m ⁡ ( I m A ) , pois além de ter o espaço gerado pelas colunas de A, a imagem de B tem o espaço gerado pelo vetorzinho b, já que ele é LI com as colunas de A.

Por isso a afirmação (I) é falsa.

Passo 2

(II) Se A x = 2 , - 1,3 T tem solução única, então só tem um elemento do domínio capaz de gerar esse vetor.

Isso significa que:

A x = A y ⇒ x = y

E essa é a definição de injetividade!

Logo, se isso acontece, a matriz A é injetiva.

Resposta

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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