Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então a dimensão do núcleo de B é zero.

I I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então as colunas de B são linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

c   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Uma coisa interessante dessa questão é que ambas as afirmações estão falando a mesma coisa de um jeito diferente!! As duas dizem, em outras palavras, que se A B é injetiva, então B também é injetiva! O que quer dizer que a dimensão do núcleo de B é zero e que as colunas de B são linearmente independentes!

Então na real é só verificar se A B injetiva implica em B injetiva. Bom, imagine que B não fosse injetiva. Nesse caso teríamos um vetor v ∈ N u c B , de forma que:

B v = 0

Então teríamos:

A B v = A 0 = 0

Logo, v também pertenceria ao núcleo de A B ! Ou seja, se B não for injetiva não tem como A B ser injetiva! Logo, se A B é injetiva, então B é injetiva. Ambas são verdadeiras.

Resposta

Letra a  

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2