Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 127 – Fix. 4.15 (Adaptado)

Seja Equation uma matriz com Equation linhas e Equation colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:

  1. Se Equation , então as colunas são Equation
  2. Se Equation , então o núcleo de Equation contém uma reta.
  3. Se Equation é injetiva e Equation é a sua forma escalonada, então Equation é injetiva.

Passo 1

Letra a)

Basta arrumar um contra-exemplo. Sei que isso normalmente é a parte difícil, mas tenta chutar a matriz mais simples possível satisfazendo as condições do enunciado.

Equation

Nesse caso, temos que o número de linhas é maior que o de colunas certo? Mas as colunas são iguais! Logo o conjunto é Equation . Falso

Letra b)

Lembra que na teoria vimos que para uma matriz ser injetiva ( Equation ), o número de linhas tem que ser maior ou igual ao número de colunas!

E nesse caso ele diz que o número de linhas é menor que o número de colunas! Nesse caso, a matriz não é injetiva e seu núcleo terá dimensão maior ou igual a Equation . Então ele sempre vai conter uma reta. Verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra c)

Se Equation é injetiva, quer dizer que Equation . Então a solução do sistema Equation é a trivial. Como Equation a a forma escalonada de Equation , então são matrizes equivalente e, por isso, a solução dos sistemas lineares são equivalentes! Logo se Equation possui somente a solução trivial, então Equation também possui!! Portanto, Equation e Equation é injetiva. Verdadeiro

Resposta

  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro

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