Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz com m linhas e n colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:

  1. Se m > n , então as colunas são L I
  2. Se m < n , então o núcleo de A contém uma reta.
  3. Se A é injetiva e U é a sua forma escalonada, então U é injetiva.

Passo 1

Letra a)

Basta arrumar um contra-exemplo. Sei que isso normalmente é a parte difícil, mas tenta chutar a matriz mais simples possível satisfazendo as condições do enunciado.

1 1 2 2 3 3

Nesse caso, temos que o número de linhas é maior que o de colunas certo? Mas as colunas são iguais! Logo o conjunto é L D . Falso

Letra b)

Lembra que na teoria vimos que para uma matriz ser injetiva ( N u c A = 0 ), o número de linhas tem que ser maior ou igual ao número de colunas!

E nesse caso ele diz que o número de linhas é menor que o número de colunas! Nesse caso, a matriz não é injetiva e seu núcleo terá dimensão maior ou igual a 1 . Então ele sempre vai conter uma reta. Verdadeira.

Passo 2

Letra c)

Se A é injetiva, quer dizer que N u c A = { 0 } . Então a solução do sistema A x = 0 é a trivial. Como U a a forma escalonada de A , então são matrizes equivalente e, por isso, a solução dos sistemas lineares são equivalentes! Logo se A x = 0 possui somente a solução trivial, então U x = 0 também possui!! Portanto, N u c U = { 0 } e U é injetiva. Verdadeiro

Resposta

  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
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Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
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