Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz m × n . Considere as afirmações:

(I) Se m ≥ n , então A é necessariamente injetiva.

(II) Se A é injetiva, então m ≥ n .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Sabemos que se o núcleo de A é trivial, então A é injetiva.

N u c A = 0 ⇒ A   i n j e t i v a

E o núcleo de uma matriz é a solução do sistema homogêneo.

Então se m ≥ n , vamos ter mais equações que incógnitas.

Nesse caso, pode ser que só tenhamos a solução trivial, mas não necessariamente isso acontece, pois também podemos ter a solução trivial mais infinitas soluções.

Então a afirmação (I) é falsa, pois ela diz que se m ≥ n , então A é necessariamente injetiva (tem núcleo trivial), mas isso pode não ser verdade.

Passo 2

(II) Com o que vimos na afirmação (I), temos então que uma matriz só pode ser injetiva se m ≥ n .

Mas isso não necessariamente vai ser verdade, ou seja, toda matriz injetiva obedece m ≥ n mas nem toda matriz que obedece m ≥ n é injetiva.

Por isso a afirmação (II) é verdadeira.

Resposta

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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