Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Um sistema linear da forma S :   A x →   = b →   possui uma solução particular x → p   =   ( 1 ,   2 ,   3 ) , e o sistema homogêneo associado tem o conjunto solução N A =   1 ,   1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 .   Assinale o vetor que não é solução de S:

(a) (2, 2, 4)

(b) (2, 3, 4)

(c) (3, 7, 8)

(d) (1, 1, 2)

Passo 1

Como a solução geral de um sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular, temos que o conjunto solução ( X ) de S   é igual à:

X = 1,2 , 3 + 1 ,   1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1

Onde todos os vetores solução estão contidos.

Para ver qual vetor não é solução vamos ver qual não está contido nesse conjunto.

Passo 2

(a) (2, 2, 4)

2 ,   2 ,   4 = 1,2 , 3 + 1 ,   1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 ⟹ 2,2 , 4 = 1 ,   2 ,   3 + a 1 ,   1 ,   1 + b ( 0 ,   1 ,   1 )

Posso montar um sisteminha:

2 = 1 + a 2 = 2 + a + b 4 = 3 + a + b ⟹ a = 1 a + b = 0 a + b = 1

Opa!! Como a + b   vai ser igual a 0 e a 1 ao mesmo tempo?? Impossível!

Assim, chegamos a conclusão que esse vetor não pertence ao espaço solução, e portanto, não é solução.

Resposta

a

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