Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Qual dos vetores abaixo pode ser acrescentado ao conjunto β = { 1,1 , 0,0 , 0,1 , 1,0 } para se obter uma base do núcleo da matriz ?

(a) Nenhum vetor, β já é base.

(b) (2,1,0,1)

(c) (1,0,1,0)

(d) (1,2,1,0)

Passo 1

Vamos começar achando uma base pro núcleo da matriz dada.

Lembra que o núcleo é a solução do sistema homogêneo.

Vamos montar esse sistema:

A segunda equação é -1 vezes a primeira, então na verdade só temos uma equação pros vetores ( x , y , z , w ) do núcleo:

x - y + z - w = 0

x = y - z + w

Então os vetores do núcleo são:

x , y , z , w = y - z + w , y , z , w

x , y , z , w = y , y , 0,0 + - z , 0 , z , 0 + w , 0,0 , w

x , y , z , w = y 1,1 , 0,0 + z - 1,0 , 1,0 + w 1,0 , 0,1

Como esses três vetores são linearmente independentes e todo vetor do núcleo se escreve como combinação linear deles, então eles formam uma base pro núcleo!

α = 1,1 , 0,0 , - 1,0 , 1,0 , 1,0 , 0,1

Temos então:

dim ⁡ N u c = 3

E no conjunto β dado só temos dois vetores, então esse conjunto tem dimensão 2.

Logo, pra β ser base do núcleo, vamos ter que acrescentar um vetor ao conjunto.

Aí já eliminamos o item (a), que diz que β é base.

Passo 2

Bom, vimos que os vetores do núcleo satisfazem a equação

x - y + z - w = 0

Então vamos substituir as coordenadas dos vetores das alternativas e ver qual deles obedece a essa equação, pois aí vamos ter um vetor do núcleo.

(b) (2,1,0,1)

2 - 1 + 0 - 1 = 0

(c) (1,0,1,0)

1 - 0 + 1 - 0 = 2 ≠ 0

(d) (1,2,1,0)

1 - 2 + 1 - 0 = 0

Então temos dois vetores candidatos à base do núcleo: ( 2,1 , 0,1 ) e ( 1,2 , 1,0 ) .

Passo 3

Pra saber qual vetor vamos escolher, temos que lembrar que se queremos uma base, os vetores têm que ser LI.

Então vamos colocar os dois vetores que já estão em β nas linhas de uma matriz, colocar também os vetores candidatos nas linhas e escalonar.

A linha que zerar vai ser LD e não vamos colocar o vetor que estava nela pra ser vetor da base!

1 1 0 0 0 1 1 0 2 1 0 1 1 2 1 0

L 3 ← L 3 - 2 L 1

L 4 ← L 4 - L 1

1 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 0 1 0 1 1 0

L 4 ← L 4 - L 2

L 3 ← L 3 + L 2

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

A 4ª linha zerou, então o vetor que estava lá é CL dos outros.

Então finalmente um vetor pra base do núcleo vai ser o vetor da terceira linha, (2,1,0,1).

Resposta

(b) (2,1,0,1)

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Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2