Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 } :

I .     ∅ ∈ U ,   n U = 10

I I .     ∅ ⊂ U ,   n U = 10

I I I .     5 ∈ U ,   { 5 } ⊂ U

I V .     0 ,   1 ,   2 ,   5 ∩ 5 = 5

Pode-se dizer que é(são) verdadeira(s):

a   A p e n a s   I   e   I I I

b   A p e n a s   I I   e   I I I

c   A p e n a s   I I   e   I V

d   A p e n a s   I V

e   T o d a s   a s   a f i r m a ç õ e s

Passo 1

Vamos começar analisando as proposições desde o começo:

I .

Essa afirmação diz que:

∅ ∈ U ,   n U = 10

Lembrando que n ( U ) é a quantidade de elementos que existem em U .

Nesse ponto está correto pois U tem realmente 10 elementos.

Agora temos uma casca de banana, cuidado pra não pisar! Quando usamos o símbolo , estamos falando de um ELEMENTO pertencer ao conjunto.

O símbolo é o símbolo do conjunto vazio, que também pode ser substituído por {   } . Perceba que ele não é um elemento do conjunto U , logo, a afirmação I é FALSA.

Passo 2

I I .

Essa afirmação diz que:

∅ ⊂ U ,   n U = 10

Lembrando que n ( U ) é a quantidade de elementos que existem em U .

Nesse ponto está correto pois U tem realmente 10 elementos.

Quando usamos o símbolo , estamos falando de um conjunto ser um subconjunto de algum outro conjunto.

O símbolo é o símbolo do conjunto vazio, que também pode ser substituído por {   } . Amigx, lembre-se de que o conjunto vazio é subconjunto de TODO conjunto! Logo, a afirmação I I é VERDADEIRA.

Passo 3

I I I .

Essa afirmação diz que:

5 ∈ U ,   { 5 } ⊂ U

Note que 5 realmente é um elemento de U .

Além disso, { 5 } é um subconjunto de U , realmente. Pensa assim: ele é um conjunto pequenininho que tem um elemento que está em outro conjunto também!

Logo, essa afirmação I I I é VERDADEIRA.

Passo 4

I V .

Dá uma olhada no que ela diz:

0 ,   1 ,   2 ,   5 ∩ 5 = 5

Isso é uma casca de bananaaaaaa! Fique atento! Dá muita vontade de dizer que está certo, né? Mas não está!!!

Quando fazemos a interseção entre dois conjuntos, o resultado é um CONJUNTO!!! O que temos ali é apenas um número, portanto, a afirmação I V é FALSA.

Resposta

L e t r a   ( b )

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Prove que todo subconjunto do R 2 com um número finito de pontos tem conteúdo nulo.
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Sejam A   e   B subconjuntos do R 2 com A ⊂ B . Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá.