Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Seja I = x ∈ R : x 2 - x < 1 . Encontre o conjunto dos s ∈ R tais que x ≤ s   para todo x ∈ I

a) 5 + 1 2 , + ∞

b) - 1 2 5 + 1 2 , 1 2 5 + 1 2  

c) 0 , 1 2 5

d)N.A

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu esse conjunto aqui

I = x ∈ R : x 2 - x < 1

E pediu para encontrar o conjunto que descreve a solução s para que x ≤ s   sempre.

Ou seja, ele pergunta o maior valor de x e todos os outros em que tenhamos uma solução sempre maior.

Mas como resolver ela?

Precisamos encontrar nosso intervalo I e verificar onde nele temos temos x ≥ s !

Beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nosso conjunto é

x 2 - x < 1

Podemos abrir em duas desigualdades

- 1 < x 2 - x < 1

E resolver

Beleza?

Pelo lado esquerdo temos

- 1 < x 2 - x

x 2 - x + 1 > 0

Podemos completar quadrado

x 2 - x + 1 4 + 3 4 > 0

x - 1 2 2 > - 3 4

E essa inequação é verdadeira para todo valor de x ! Agora vamos ver para o lado direito

x 2 - x < 1

Completando quadrado de forma análoga com o que fizemos do lado esquerdo temos

x 2 - x + 1 4 - 1 - 1 4 < 0

x - 1 2 2 - 5 4 < 0

Aí temos

x - 1 2 2 < 5 4

Ficamos com

- 5 4 < x - 1 2 < 5 4

- 5 + 1 2 < x < 5 + 1 2

tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos pegar o maior valor do nosso intervalo

x = 5 + 1 2

Quando x = s

s = 5 + 1 2

Mas queremos também s ≥ x

Então

s ≥ 5 + 1 2

Aí nosso intervalo para s é

5 + 1 2 ,   + ∞

Alternativa (a)

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( a )  

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